奇妙なループ
Gödel Escher Bach series — An overview of Gödel’s incompleteness theorems
Oct 1, 2019 · 10 min read
これは、ダグラス・ホフスタッターの「ゲーデル、エッシャーバッハ：永遠の黄金の編組」のメインテーマを取り上げることを目的としたミニシリーズのパート1です。 最初の部分では、本のメイントピックと、それがゲーデルの不完全性定理とどのように関連しているかに焦点を当て、エッシャーの写真とバッハの音楽作品との関係についての洞察を提供します。
1979年に出版されたホフスタッター教授が彼の本で答えようとしていることは、1つの主要な質問です。それは、生物が無生物からどのように生まれるかということです。 「自己」とは何を表しており、自己を持たないものからどのように自己が生まれるのか。 これらの酸素、炭素、水素、窒素の元素の束が無意味から、それ自体の存在を認識している実体に発展するのはなぜですか？
Approach
これらの質問に答えるためにGEBが採用するアプローチは、分子を無意味な記号に関連付け、特定の種類の無意味な記号のシステムでのみ発生する特定の意味のあるパターンに自分自身を関連付けるアナロジーを作成することです。 この本は主に教授のパターンを調査することに集中しています。 ホフスタッターは彼の本の中で「奇妙なループ」と呼んでいます。
「GEBは本質的に、自己がどのように発生するかについてのメタファーとして、奇妙なループの長い提案です。」
それらのループの1つは、ゲーデルの有名な「不完全性定理」に基づくゲーデルの不思議な環です。これは、数学の形式的システムで発生し、そのようなシステムがそれ自体を識別できるようにします…「自己認識」になります。
以前の「自己」に戻ると、頭蓋骨は「完全に無菌で無生物の成分で構成された純粋に物理的な物体であり、すべてが宇宙の他のすべてを支配する法則とまったく同じ法則に従う」ことがわかっています。 それらの鍵は、それらの無生物、つまり脳が構成されている原子にあるのではなく、脳の内部に存在するパターンにあります。
「しかし、すべてのパターンが意識しているわけではなく、奇妙なループだけが意識しています。」 「そして、すべての奇妙なループが魂を生み出すわけではありません。」
何の意味もない無意味なプリミティブ（原子、分子など）の束から「私」にたどり着きます。 では、これら2つの関係は何でしょうか。 BEGは、正式な数学システムに戻ることで、この質問に答えようとします。 一連の論理プリミティブ（3 + 2 = 5など）から始めて、それ自体を参照する一連のステートメントに到達します。 これらの2つのシステムはどういうわけか同等です。 前に、より詳細に入る前に、ゲーデルの不完全性定理を見てみましょう。
Gödel’s Incompleteness Theorems
まず、使用する用語を説明して、語彙を邪魔にならないようにしましょう。
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•形式体系は、一連の規則に従って公理から定理を推測するために使用されます。 公理から定理の推論を実行するために使用されるこれらの規則は、形式体系の論理計算として知られています。 正式なシステムは本質的に「公理的システム」です。 （1921年に、David Hilbertは、数学の知識の基礎としてそのようなシステムを使用することを提案しました。）
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•公理の言語のステートメントについて、そのステートメントまたはその否定が公理から証明できる場合、一連の公理は（構文的に）完全です。
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•ステートメントとその否定の両方が公理から証明できるようなステートメントがない場合、一連の公理は（単に）一貫しています。
ゲーデルの不完全性定理は、証明できない真のステートメントがいくつかあることを示すことにより、基本的な算術をモデル化できるすべての形式的公理システムの限界を示しています。 彼は逆説的な数学的ステートメントを利用することによってこれを証明しますが、それらを非常に巧妙な方法で構築します。
最初の定理は、一貫性と証明可能性という2つの概念に関連しています。 矛盾がない場合、数学システム（公理と呼ばれる一連の仮定）は一貫しています。つまり、ステートメントが真と偽の両方であることを証明することはできません。
ゲーデルの最初の不完全性定理（ゲーデルの1931年の論文「プリンキピア数学および関連システムの形式的に決定不可能な提案についてI」に最初に登場）は、一貫した数学システム（つまり、矛盾のない公理のセット）があれば、それを実行できると述べています。 一定量の数学の場合、そのシステムの公理だけでは証明できないステートメントがそのシステムにあります。
最初の不完全性定理：「一定量の初等算術を実行できる一貫した形式体系は不完全です。 つまり、Ƒでは証明も反証もできない、Ƒの言語の記述があります。」 （ラーティカイネン2015）
最初の不完全性定理の拡張である2番目の不完全性定理は、システムがそれ自体の一貫性を示すことができないことを示しています。
2番目の不完全性定理：「Ƒは初等算術を含む一貫した形式化されたシステムであると仮定します。 次に、⊢短所（Ƒ）ではありません。」 （ラーティカイネン2015）
理解を深めるために、嘘つきのパラドックスを検討することから始めることができます。「このステートメントは誤りです。」 このステートメントは、それが偽である場合にのみ真であり、したがって、それは真でも偽でもありません。 ここで、次のステートメントについて考えてみましょう。「このステートメントは証明できません。」 それが証明可能である場合、私たちは虚偽を証明していますが、これは一般的に不可能であると考えられています。 残された唯一の選択肢は、このステートメントが証明できないということです。 したがって、それは実際には真実であり、証明不可能です。
ゲーデルの証明は、考えられる各数学的ステートメントに、いわゆるゲーデル数（ゲーデルコーディングとして知られている）を割り当てます。 たとえば、「a」を1に、「b」を2に、というように割り当てると、「数学」という単語は「13–1–20–8」に割り当てられます。 同様に、コンピュータが情報を「0」と「1」に格納する方法を考えることができます。
私たちが示すのは、ゲーデルによって書かれた証拠の提示ではありません。 定理が何を主張し、証明を書くために何が必要かを理解するために必要なすべての基本的な考えを提示します。
初等算術について推論できる形式体系Ƒ（すべての形式体系は定義により効果的に公理化されている）が与えられていると仮定します。 次に、ゲーデルが示したように、「私はƑで証明できない」という文Gを作成することができます。 彼がこの文を作成した後、彼は単に尋ねました：GはƑで決定されますか？ （GはƑで証明または反証できますか）
最初の不完全性定理（ロッサー版）：「初等算術について推論できる一貫した形式体系にしましょう。 その後、Ƒは不完全です。」
不完全性定理を証明するロッサーのトリックは、「私は証明できない」を形式化する代わりに、「私のすべての証明には、より短い反証が存在する」という文を形式化したという事実に基づいています。 この文をRと呼びます。
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Rが証明可能であると仮定します。 これの意味は： ⇒Rの最短の証明rがいくつか存在します。これは次のことを意味します。
1.1。 rよりも短い¬Rの証明があります。 ⇒これは、Ƒに一貫性がないことを意味します。 （矛盾）
1.2。 ORはありません。 ⇒rの長さまでのすべての文字列を調べて、それらのいずれも¬Rの証明ではないと判断できます。
⇒このリストをƑの中に書き出すことができ、すべての長い文字列は少なくともrと同じ長さであることを指摘できます。 ⇒これにより、«より短い反証なしのRの証明（つまりr）»=¬Rの新しい（より長い）証明を構築することができます。 ⇒これは、Ƒに一貫性がないことを意味します。
2.¬Rが証明可能であると仮定します。 これの意味は： ⇒¬Rの最短の証明r ’がいくつか存在します。 これの意味は：
2.1。 rよりも短いRの証明があります。 ⇒これは、Ƒが矛盾していることを意味します。 （矛盾）
2.2。 ORはありません。 ⇒r ’の長さまでのすべての文字列を調べて、どれもRの証明ではないと判断できます。
⇒このリストをƑの中に書き出すことができ、すべての長い文字列は少なくともr ’と同じ長さであることを指摘できます。 ⇒これにより、«Rのすべての証明に対して、より短い反証（つまりr ’）»= Rの新しい（より長い）証明を構築することができます。 ⇒Ƒに一貫性がありません。 （矛盾）
（第2不完全性定理）：「繰り返しますが、Ƒを初等算術について推論できる一貫した形式体系とします。 そうすると、Ƒはそれ自体の一貫性を証明できなくなります。」
矛盾の目的で、Ƒがそれ自体の一貫性を証明できると仮定しましょう。 これは、最初の不完全性定理の証明の前半は、Ƒが一貫している場合、Gは証明できないという矛盾による証明として読み取ることができることを意味します。 «Gは証明できない»= Gであるという事実を使用すると、これは「Ƒは一貫している⇒G」としてより簡潔に述べることができます。 したがって、«Ƒは一貫しています=⇒G»は実際にはƑの定理です。 Ƒは«Ƒが一貫している»ことを証明できると想定しています。 したがって、モーダスポネンスによって、ƑもGを証明できます。しかし、Gは証明できません。 （矛盾）
ゲーデルがしたことの本質は、数論を使用して、特定の形式体系内のステートメントの証明可能性に関するステートメントをエンコードすることでした。 次に、彼は非常に厳密で見事な方法で、ステートメントをエンコードしました。このステートメントは証明できません。 この声明が証明可能である場合はどうなりますか？ それが証明可能である場合、証明可能なステートメントは必然的に真であるため、それは真です。 それが本当なら、それは証明できません！ ⇒矛盾！ この声明が証明できない場合はどうなりますか？ それはまさにステートメントが主張していることなので、それは真実であり、証明することはできません。
A Musical Logical Offering
GEBは、バッハの音楽の捧げものの物語で始まります。 バッハはフリードリヒ大王を即興で訪問し、国王が提示したテーマに即興で演奏するよう要請されました。 彼の即興はその素晴らしい仕事の基礎を形成しました。 自己参照と、バッハのさまざまなレベル間の相互作用について説明します。 これは、エッシャーの素描、次にゲーデルの定理における平行した考えの議論につながります。
先に進む前に、いくつかの用語を定義しましょう。
キヤノンは、1つのテーマが繰り返され、「それ自体に対して再生される」音楽です。 Hofstadter教授は、キヤノンが複雑になる可能性のあるいくつかの方法を教えてくれます。
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•テーマのコピーは、一定時間後に再生されます。
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•テーマは時間とピッチがずれています。
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•テーマはさまざまな速度で再生されます。
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•テーマが反転します。
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•テーマは逆方向に再生されます。
フーガは、創造的な表現のためのより多くの柔軟性と機会を備えた規範です。
この章では、不思議の環ともつれた階層の概念に初めて会います。
奇妙なループは、階層システムのいくつかの層を通過して最初に戻る循環構造です。 あるレイヤーが別のレイヤーの内側に含まれているため、これらのレベルの奇妙な交差が可能になり、高いレイヤーが突然低いレイヤーに埋め込まれているように見えます。 これが、ホフスタッターが奇妙なループのアイデアの完璧な例証としてエッシャーを選んだ理由です。
もつれた階層という用語は、ストレンジループが発生するシステムを説明するためによく使用されます。
音の奇妙なループの興味深い例があります。 シェパードトーンと呼ばれる錯覚は、ピッチがどんどん高くなっているように見えるが、可聴周波数を超えることは決してないように見える音で構成されています。 音はループしますが、周波数は巧妙に選択され、ピッチが絶えず上昇しているような錯覚を与えます。 バッハは音楽の捧げもののバリエーションで同様のアイデアを使用しています。 テーマは繰り返されているようで、演奏されるたびに音が高くなります。 しかし、ある時点でテーマがオクターブに達し、作品は再び始まっているかのように聞こえます。
ヨハンゼバスティアンバッハの音楽の捧げもの（BWV 1079）は、キーボードのカノンやフーガ、その他の音楽のコレクションです。これらはすべて、フリードリヒ大王（フリードリヒ2世）から与えられた単一の音楽テーマに基づいています。
「このカノン[音楽の捧げもの]で、バッハは私たちにストレンジループの概念の最初の例を示しました。 「ストレンジループ」現象は、ある階層システムのレベルを上向き（または下向き）に移動することで発生します。予期せず、開始した場所に戻ってしまいます。」
同様に、エッシャーの画像を使用することによって、私たちは思考と存在の実際の構造が何であるかについての洞察を得始めます。
「ストレンジループの概念に暗示されているのは無限の概念です。ループとは何か、しかし無限のプロセスを有限の方法で表現する方法は他にあるのでしょうか？…彼のドローイングのいくつかでは、1つのテーマがさまざまなレベルの現実に現れることがあります。 …しかし、これら2つのレベルが存在するだけで、視聴者は自分自身をさらに別のレベルの一部と見なすようになります。その一歩を踏み出すことで、視聴者はエッシャーの暗黙のレベルの連鎖に巻き込まれずにはいられません。 、その上には常により大きな「現実」の別のレベルがあり、同様に、それよりも下の「より想像上の」レベルが常にあります。これはそれ自体が気が遠くなるようなものです。ただし、レベルのチェーンが線形ではなく、ループを形成する場合はどうなりますか？では、本物とは何ですか、そしてファンタジーとは何ですか？エッシャーの天才は、彼が作成するだけでなく、実際には、数十の半現実的、半神話的な世界、不思議の環で満たされた世界を描写できることでした。彼は視聴者を招待しているようです。」
エッシャーの、登り続けているように見える正方形の四角形を登っている僧侶のイメージを考えると、僧侶は完全に一周して、最初の階段に足を踏み入れます。 どちらがプライマリレイヤーであるかがわからないため、これは混乱を招きます。
エッシャーによる「上昇と下降」。 階段の2つの同心の行列は、垂直方向の上昇と下降の欠如を強調するのに十分な人を使用します。 さらに、人々が着ているチュニックの短さは、いくつかがステップアップしているものと、いくつかがステップダウンしていることを明らかにしています。 ホフスタッターは、数学がこのレベルの組み合わせを使用して自分自身について話すことができるのと同じように、自分自身を意識する脳の能力も同様の能力のためである可能性があると考えています。 彼は、人間の脳はそれ自体について話すことができるほど十分に複雑になっていると信じています。 ゲーデルが数学がそれらの論理的な奇妙なループを使用して自分自身について話すことができることを示したように、ホフスタッター教授は、私たちが意識と呼ぶ「私」は脳のネットワークの奇妙なループの結果であると信じています。
次のセクションでは、個々の章を詳しく見ていきます。
Resources:
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“Incompleteness Ex Machina”, Sebastian Oberhof, December 31, 2018
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Gödel, Escher, Bach: A Mental Space Odyssey: MIT Lectures Notes
