真空電気力学のトポロジー的に重要な解の研究(SU2と電磁気のつながり)

New knotted solutions of Maxwell’s equations

 

Carlos Hoyos1, Nilanjan Sircar2and Jacob Sonnenschein

 

Abstract

このノートでは、真空電気力学のトポロジー的に重要な解の研究をさらに発展させました。 ベイトマンの変数で表される既知の解に複雑なパラメーターを使用した等角変換を適用することにより、このような解を生成する新しい方法を発見しました。 これにより、一定の電磁界や平面波などの基本構成から幅広いクラスのソリューションを取得できるようになりました。 ベイトマンの構造の共変定式化を導入し、共形群に関連する保存された電荷と、4種類の保存されたヘリシティのセットについて説明しました。 また、クォータニオンの観点から定式化を行いました。 これは、SU2ゲージ理論のフラットな接続への電磁結び目とリンクされたソリューション間の単純なマップにつながりました。 解のクラスで対応するチャーン・サイモン電荷を計算しました。これは整数値を取ります。

 

 

 

 

 

1 Introduction

場の理論における位相幾何学的で自明でない解が非線形運動方程式にのみ関連することは「一般的な知恵」です。これは、たとえば2次元のソリトン磁気単極子4次元のヤンミルズインスタントンの場合です。実際、このステートメントは誤りであり、線形運動方程式を解く重要な構成もあります。特に、フラットな時空における自由マクスウェル方程式の既知の解があり、それは自明でないトポロジーを認めます。これは[3]で構築されたHopfion解です。それ以来、これらのソリューションについてかなりの研究が行われ[4–7]、最近[8–12]で復活しました。 これらの解は、[1314]のベイトマン[2]構造でヌル電磁解として研究されました。高スピン場におけるアナログ解の一般化と分類は[15–18]で研究されました。電気力学のリンクされた結び目のある非ヌル解は[19]で研究されました。電気力学およびその他の物理学の分野におけるそのような解決策の包括的なメモと参考文献のコレクションは、[20]にあります。

 

 

 

 

 

5 Summary

このノートでは、電気力学のトポロジー的に重要なソリューションの研究をさらに発展させました。ベイトマンの変数で表される既知の解に複雑なパラメーターを使用した等角変換を適用することにより、このような解を生成する新しい方法を発見しました。これにより、実際には、一定の電界と磁界の基本構成から幅広いクラスのソリューションを得ることができました。共変式を導入しました- イトマンの構造を説明し、共形群に関連する保存された料金と、4種類の保存されたヘリシティのセットについて説明しました。共変定式化を実装する1つの方法は、四元数定式化を使用することです。これは、SU2ゲージ理論のフラットな接続への電磁ノットソリューション間の単純なマップにつながりました。対応するCS電荷を計算し、整数値を取ることを示しました。 電気力学の結び目のある解の研究に関連して、さまざまな未解決の質問があります。ここでそれらのいくつかに言及します 明らかに最も興味深い問題は、実験室でホプフィオンまたはそのいとこをどのように実現するかです。問題は、実験の同僚に、これらの重要な電磁構成を生成できるようにする追加情報を提供できるかどうかです。実験室でHopfソリューションを構築するための提案は[8]で与えられました。

定数EBからホプフィオンの一般化に至るまで、このノートで説明されている解はデカルト座標で表されました。明らかに、円筒座標と球座標で自然に記述される電磁構成があります。ベイトマンの変数の観点からそれらの式を検索できます。これは、球形、円筒形、またはより一般的な座標の複雑な関数になります。複雑な座標で等角変換を実行することも、さまざまな異なる座標系を使用して実行できます。 •興味深い質問は、明らかに、トポロジー的に重要なEMフィールド内の荷電粒子の軌道を解読することです。これらの軌道はいくつかのトポロジーを認めていますか?ホプフィオンのバックグラウンドにおける荷電粒子軌道のクラスは、[10]で数値的に研究されました。 より一般的な質問は、電流と電荷密度に結合された電気力学の運動方程式に対する同様のトポロジー解を探すことです。 •より理論的な問題は、ベイトマンの構築に続くすべてのソリューションの分類です。基本的なHopfionαおよびβの正則関数の取得に基づくソリューションのクラス、および複雑なパラメーターを使用して可能なすべての等角変換を適用することによって得られる他のすべてのソリューション。 •同様の問題は、対応するSU2)フラットゲージ接続の分類に関連しています。 EMトポロジー的に重要な構成にマッピングできないSU2)フラットゲージ接続はありますか?はいの場合、マッピングできるものの特徴は何ですか。 •このノートにある解決策は、AdS4Anti-de Sitter 4-d space-time)が特殊なケースである共形平坦な背景で実際に有効であると述べました。ホログラフィー[35][36][37]の文脈で、電磁場がバルクにある場合、境界共形場理論の対応するデュアル(トポロジー?)構成は何であるか疑問に思うかもしれません。

 

 

 

 

 

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