ツイスター理論と重力電磁形式

NEWS-SCIENSE 物理（その他）

Linked and Knotted Gravitational Radiation

Amy Thompson

∗†

1,2

, Joe Swearngin

∗

2,3

, and Dirk Bouwmeester

1,2

 

 

 

 

Abstract

ツイスター理論の基本状態からこのトポロジーに基づいてスピンN場を構築することにより、トーラス結び目トポロジーが電磁気および重力放射に固有であることを示します。 基本状態に対応するツイスター関数は、トーラスノットのポロイダルおよびトロイダルの回転数に関するパラメーター化を許可し、関連するフィールド構成のリンクまたはノッティングの程度を選択できるようにします。 重力電磁形式を使用して、トーラス結び目構造が類似の線形化された重力解のテンデックスと渦の線に示されていることを示します。 重力場のトポロジーと、重力場の潮汐力と慣性系の引きずり力の観点からの物理的解釈について説明します。

 

 

 

1 Introduction

結び目とリンクは、ロープや糸と同じくらい古くてどこにでもあることを考えると、非常に注目に値しますが、数学の中で厳密な定式化が見られたのは比較的最近のことです。結び目とリンクの研究は、ガウスによる開始以来、物理学と密接な関係を築いてきました[1]。今日、理論物理学におけるこれらのトポロジー構造の適用は、耐障害性量子コンピューティング[2]、ハドロンモデル[3、4]、トポロジーMHDおよび流体力学[5,6]、古典場の理論から、かつてないほど広まっています。 [7–9]、場の量子論[10,11]、DNAトポロジー[12]、ネマチック液晶[13]など。この記事では、重要なクラスの結び目であるトーラス結び目を、古典的な電磁放射と重力放射に適用することに焦点を当てます。 ホップフィオンは、ホップファイブレーションから派生したトポロジに基づくフィールド構成です。電磁ホプフィオン（EM hopfion）は、ソースフリーのマクスウェル方程式のヌル解であり、電気、磁気、またはポインティングベクトル場（EBS場）のいずれかに関連付けられた任意の2つの力線が閉じられ、1回だけリンクされます[7]。 EMホップフィオンが一定時間の超平面に分解されると、EBSフィールドが3つの直交するホップファイブレーションのファイバーに接する超平面が常に存在します。ポインティングベクトルを将来のポインティングライトのような4ベクトルに拡張すると、その積分曲線は、ロジャーペンローズによってロビンソン合同と呼ばれるせん断のないヌル測地線合同を埋める空間を構成します。 Rânada[14]は、EM hopfionソリューションを再発見し、そのトポロジーは時間発展の下で不変であると述べました。 hopfionソリューションの一般化の検索により、トーラスノットに基づく非ヌルEMソリューションのセットが導入されました[15]が、トポロジは時間発展中に保存されませんでした。同じ頃、カーロビンソンの定理を使用して、2スピノール法を使用してロビンソン合同自体からホプフィオンを導出しました[16]。ホプフィオンの進化におけるロビンソン合同の役割に触発されて、力線トポロジーの保存は、ロビンソン合同のせん断のない特性に結び付けられました[17]。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 Conclusion

ここでは、ヌルEMトーラスノット解が、関連するフィールド構成のポロイダルおよびトロイダル回転数を特徴とする基本状態のクラスに対応することを示しました。 ツイスター形式における異なるスピンの場間の関係を使用して、トーラス結び目構造に基づくテンデックスと渦の線を有する類似の重力放射構成を構築しました。トポロジーはテンデックス線と渦線に現れるため、重力電磁潮汐テンソル分解は、これらの場の構成を特徴付ける簡単な方法です。 小学校の州は早くも1970年代に知られていましたが[24]、Mでの関連するスピノールとテンソルの表現の明示的な形式は公開されませんでした。 4これらのソリューションの最新の再発見により、これらのフィールドのトポロジー特性をより完全に物理的に理解することに関心が集まっています。ポロイダルおよびトロイダル巻線の観点から基本状態に対応するツイスター関数のパラメーター化は、トーラス結び目構造が実際に基本状態に固有であることを示しています。電磁気学と重力の両方について、トポロジーは力線の構成に現れます

 

 

 

 

 

References

[1] J. H. Przytycki. Knots: From combinatorics of knot diagrams to combinatorial topology based on knots. 2007, arXiv:math/0703096.9

[2] C. Nayak, S. H. Simon, A. Stern, M. Freedman, and S. Das Sarma. Non-abelian anyons and topological quantum computation.

Reviews of Modern Physics, 80(3):1083-1159, 2008.

[3] T. H. R. Skyrme. A unified field theory of mesons and baryons.

Nuclear Physics, 31:556–569,1962.

[4] L. Faddeev and Antti J. Niemi. Stable knot-like structures in classical field theory.

Nature,387:58–61, 1997.

[5] A. M. Kamchatnov. Topological solitons in magnetohydrodynamics.

Sov. Phys. JETP, 82:117–124, 1982.

[6] Amy Thompson, Joe Swearngin, Alexander Wickes, and Dirk Bouwmeester. Constructing a class of topological solitons in magnetohydrodynamics.

Physical Review E, 89(4):043104–1–5,2014.

[7] Antonio F. Ra ̃nada and Jos ́e L. Trueba. Topological electromagnetism with hidden nonlinear-ity.

Modern Nonlinear Optics, Part III, 119:197–253, 2002.

[8] William T. M. Irvine and Dirk Bouwmeester. Linked and knotted beams of light.

Nature Physics, 4:716–720, 2008.

[9] Joe Swearngin, Amy Thompson, Alexander Wickes, Jan Willem Dalhuisen, and Dirk Bouwmeester. Gravitational hopfions. 2014, arXiv:gr-qc/1302.1431.

[10] Edward Witten. Quantum field theory and the Jones polynomial.

Communications in Math-ematical Physics, 121(3):351–399, 1989.

[11] G. D. Robertson. Torus knots are rigid string instantons.

Communications in Mathematical Physics, 226(3-4):244–250, 1989.

[12] Javier Arsuaga, Mariel Vazquez, Paul McGuirk, Sonia Trigueros, De Witt Sumners, and Joaquim Roca. DNA knots reveal a chiral organization of DNA in phage capsids.

Proceedings of the National Acadamy of Sciences, 102(26):9165-9169, 2005.

[13] T. Machon and G. Alexander. Knots and nonorientable surfaces in chiral nematics.

Proceedings of the National Acadamy of Sciences, 110(35):14174-14179, 2013.

[14] Antonio F. Ra ̃nada. A topological theory of the electromagnetic field.

letters in mathematical physics, 18(2):97–106, 1989.

[15] Manuel Array ́as and Jos ́e L. Trueba.

Electromagnetic torus knots.2011, arXiv:hep-th/1106.1122.

[16] J. W. Dalhuisen and D. Bouwmeester. Twistors and electromagnetic knots.

Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 45(13):135201, 2012.

[17] William T. M. Irvine. Linked and knotted beams of light, conservation of helicity and the flow of null electromagnetic fields.

Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 43(38):385203, 2010.

[18] E.T. Whittaker. On the partial differential equations of the mathematical physics.Mathema-tische Annalen, 57:333–355, 1903.10

[19] Harry Bateman.The Mathematical Analysis of Electrical and Optical Wave-motion on the Basis of Maxwell’s Equations. Cambridge University Press, Cambridge, 1915.

[20] Roger Penrose. Twistor theory: its aims and achievements. In C. J. Isham, R. Penrose, and D. W. Sciama, editors,Quantum Gravity, an Oxford Symposium. Oxford University Press,Oxford, 1975.

[21] Roger Penrose. Solutions of the zero-rest-mass equations.

Journal of Mathematical Physics,10(38):38–39, 1969.

[22] Roger Penrose. On the origins of twistor theory. In W. Rindler and A. Trautman, editors,Gravitation and geometry, a Volume in Honour of I. Robinson, pages 341–361. Bibliopolis,Naples, 1987.

[23] Emil Grgin.A Global Technique for the Study of Spinor Fields. Ph.D. Thesis, Syracuse University, 1966.

[24] Roger Penrose and M. A. H. MacCallum. Twistor theory: An approach to the quantisation of fields and space-time.Physics Reports, 6(4):241–316, 1972.

[25] Lane P. Hughston and Richard S. Ward. An introduction to twistor theory. In Advances in twistor theory. Pitman Publishing Limited, London, 1979.

[26] Andrew Hodges. Twistor diagrams.Physica A: Statistical Mechanics and its Applications,114(1):157–175, 1982.

[27] M. G. Eastwood and A. M. Pilato. On the density of twistor elementary states.Pacific Journal of Mathematics, 151(2):201–215, 1991.

[28] Hridesh Kedia, Iwo Bialynicki-Birula, Daniel Peralta-Salas, and William M. T. Irvine. Tying knots in light fields.Physical Review Letters, 111(15):150404-1–4, 2013.

[29] David A. Nichols, Robert Owen, Fan Zhang, Aaron Zimmerman, Jeandrew Brink, Yanbei Chen, Jeffrey D. Kaplan, Geoffrey Lovelace, Keith D. Matthews, Mark A. Scheel, and Kip S.Thorne. Visualizing spacetime curvature via frame-drag vortexes and tidal tendexes: General theory and weak-gravity applications.

Phys. Rev. D, 84:124014, Dec 2011.

[30] Fan Zhang, Aaron Zimmerman, David A. Nichols, Yanbei Chen, Geoffrey Lovelace, Keith D.Matthews, Robert Owen, and Kip S. Thorne. Visualizing spacetime curvature via frame-drag vortexes and tidal tendexes II. Stationary black holes.Phys. Rev. D, 86:084049, 2012.

[31] David A. Nichols, Aaron Zimmerman, Yanbei Chen, Geoffrey Lovelace, Keith D. Matthews,Robert Owen, Fan Zhang, and Kip S. Thorne. Visualizing spacetime curvature via frame-drag vortexes and tidal tendexes III. Quasinormal pulsations of schwarzschild and Kerr black holes.Phys. Rev. D, 86:104028, 2012.

[32] R. Penrose and W. Rindler.Spinors and Space-Time: Volume 2, Spinor and Twistor Meth-ods in Space-Time Geometry. Cambridge monographs on mathematical physics. Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

[33] Manuel Array ́as and Jos ́e L. Trueba. Exchange of helicity in a knotted electromagnetic field.2011, arXiv:hep-th/1105.6285.