トポロジカルな欠陥で満たされた 10 の異なるリーマンカルタン空間

the WMAP observations are quite consistent with the cosmology of the D4-D5-E6-E7-E8 VoDou Physics model.

Garcia-Compean、Obregon、および Ramirez は、Pontrjagin 項が THETA 項であることを示しているため、MacDowell-Mansouri 理論に関連する二重理論を構築できます。自己双対 MacDowell-Mansouri 理論は、Ashetekar の自己双対スピン接続の形式主義と、ニエト、オブレゴン、およびソコロのアプローチに対応しています。反自己双対部分 (および THETA 項) も考慮に入れると、重力モノポールおよび/または重力ソリトンを構築できる可能性があるようです。 Garcia-Compean、Obregon、および Ramirez は、論文でグループ SO(3,2) を使用しています。彼らは、MacDowell と Mansouri の 1978 年の研究に続いて、Heinz Pagels (Phys. Rev. D 29 (1984) 1690) がグループ O(5) を使用して、MacDowell-Mansouri 理論に類似したユークリッド定式化を取得したことに注目しています。 4次元時空を表すPontrjaginトポロジー用語は、曲率2形式を表す4x4行列の正方形のトレースに比例します(Nakahara、Geometry、Topology、およびPhysics、Adam Hilger 1990のセクション11.4を参照)。これは、インスタントンユニバースの作成と拡張に対応する可能性があります。 Medina と Nieto は、ポントリャーギン項がゲージ群 Spin(2,3) のチャーン・サイモンズ理論に関連している可能性があることを示しており、これは 1+1 次元の共形場理論に関連している可能性があります。スモーリンは、3+1 次元から 2+1 次元 (大量の重力子を伴うチャーン・サイモンズのトポロジカル理論) から 1+1 次元 (WZW 共形場理論) へと向かうクレーンラダーの次元を調査しました。スモーリンは、このはしごはヘーラルト・サスキンドのホログラフィック仮説に関連していると述べ、ブラックホールの内部の場の量子論は、その境界上の場の量子論によって最もよく説明されるという. 縮尺と共形自由度を固定する物理的な理由は何ですか? D4-D5-E6 モデルでは、その質問への回答は別の質問への回答から得られます。すべての静止質量はヒッグス機構から来ており、静止質量は重力を介して相互作用するため、重力とヒッグス機構の間にはどのような関係がありますか?

Higgs and Gravity and Torsion:

サルダナシヴィリーが指摘したように、1960年代のハイゼンベルグとイヴァネンコは、重力子がフラットなミンコフスキー時空から曲がった時空に向かう際にローレンツ対称性を破った結果として生じるゴールドストーンボソンである可能性を提案することにより、重力を対称性の破れメカニズムと結びつける最初の試みを行った. Sardanashvily (gr-qc/9405013、gr-qc/9407032、および gr-qc/9411013 も参照) 重力は GL(4) 群のゲージ理論によって表され、GL(4) 対称性はローレンツ SO(3,1) 対称性または SO(4) 対称性のいずれかに破れ、結果として生じるヒッグス場は重力場 (SO(3,1) に分割する場合) またはリーマンメトリック (SO(4) に分割する場合) のいずれかとして解釈されます. ヒッグス場を持つ疑似リーマンメトリックの識別は、トラウトマン (Czechoslovac Journal of Physics 、B29 (1979) 107)、Sardanashvily (Phys. Lett. 75A (1980) 257)、Ivanenko と Sardanashvily (Phys. Rep. 94 (1983)) 1).任意のディラックスピン構造がそのサブバンドルであり、複合スピナーバンドルが一般的な共変変換を許容するような複合スピナーバンドル Sardanashvily のクリフォード代数構造は、スピナーと重力との間の相互作用の処理を、クリフォードマニホールドの曲率によって表現できるようにする必要があります。 gr-qc/9710027 のウィリアムペザリアパパペトルー方程式の導出。 D4-D5-E6 モデル (ここではコンパクトバージョンを使用) では、共形群 Spin(0,6) = SU(4) は、次を修正することにより、de Sitter グループ Spin(0,5) = Sp(2) に分割されます。 1 スケールと 4 コンフォーマルゲージの自由度。

結果として生じるヒッグス場は、D4-D5-E6 モデルでは、ヒッグス機構によって SU(2) ウィークボソンとディラックフェルミオンに質量を与える同じヒッグス場として解釈されます。ヒッグス機構には、最小値がゼロではないスカラー場ポテンシャルの「自発的対称性の破れ」が必要ですが、3 次元球面 SU(2) を形成します。特に、複素ヒッグススカラーダブレットの 1 つの実数成分は、v / sqrt(2) に設定されます。ここで、v は、通常、真空期待値と呼ばれる、最小値の 3 次元球面のモジュラスです。三次元球面を単位クォータニオンと見なす場合、「自発的対称性の破れ」にはクォータニオン空間の (正の) 実軸を選択する必要があります。標準モデルでは、ランダムな真空変動が SU(2) 対称性を破り、実際にランダムに実軸を選択すると想定されています。 D4-D5-E6 モデルでは、1 スケールと 4 コンフォーマルゲージの自由度を固定することによる、コンフォーマル Spin(0,6) から de Sitter Spin(0,5) への対称性の破れは、必要のない対称性の破れメカニズムです。ランダムな真空変動による摂動。 1 スケール自由度をゲージ固定すると、長さスケールが固定されます。これは、真空期待値の大きさ、または SU(2) 3 球の半径として選択できます。 4 つの共形自由度をゲージ固定すると、SU(2) 3 球体の (正の) 実軸が 4 次元時空全体で一貫して固定されます。したがって、D4-D5-E6 モデルのヒッグス場は、Spin(0,6) 共形対称から Spin(0,5) de Sitter ゲージ対称への破れから生じ、そこから (ねじれを伴う) アインシュタイン・ヒルベルト重力を構築することができます。 MacDowell-Mansouri メカニズム。時空の欠陥の理論としてのアインシュタイン-カルタン理論では、gr-qc/0306029、M. L. Ruggiero と A. Tartaglia は次のように述べています。

"... アインシュタイン・カルタンの重力理論と弾性媒体の欠陥に関する古典理論が提示され、比較されます。前者は一般相対性理論の拡張であり、4 次元時空間を指しますが、後者は次のように紹介します。三次元連続体の平衡状態の説明これらの重要な違いにもかかわらず、類似はそれらの共通の幾何学的基礎に基づいて構築されており、曲率とねじれのある時空間は 4 つの状態と見なすことができることが示されています。 - 欠陥を含む次元連続体 ... ねじれとは、多様体のアイン接続の非対称部分を指し、一般相対性理論では、ねじれはゼロであると想定されます. ... 物理的な観点から、ECTのねじれはスピンによって生成される.したがって、ECTでは物質の本質的かつ基本的な性質である質量とスピンの両方が時空間の構造に影響を与える.... ... 欠陥の理論でのねじれの使用を説明することにより、ねじれの概念を紹介したいと思います。曲率とねじれは、材料の連続体の幾何学的特性を説明するために使用されます。 ... アインシュタイン・カルタンの重力理論と欠陥理論には類似の基本方程式があり、それらの基礎となる幾何学的構造の類似点と相違点を強調します。 ... ... Trautman ... ねじれの影響を推定するために、「カルタン」半径という特徴的な長さを導入しました。条件を達成するには ... [その] スピン効果 ... 質量効果と同じ順序である ... あるいは、電子の物質密度が [約] 10^47 g cm^(-3) の場合-様物質と 10^54 g/cm^(-3) 核子様物質... 質量 m の核子は、その半径がカルタン半径 r_Cart と一致するように圧縮されるべきであると想像することができます。核子は r_Cart = 10^(-26) cm であり、巨視的なスケールと比較すると非常に小さいが、プランク長よりも大きい。したがって、重力の量子理論を実現するには、ねじれを考慮に入れる必要があります。 ...

... 形式的には、アインシュタイン・カルタン場の方程式は、少なくとも欠陥が小さい場合は、線形近似を使用できるように、3 次元連続体の欠陥状態を記述します。この類推は保存方程式によって完成されます。保存方程式は、幾何学的同一性として記述され、転位とディスクリネーションの正しい保存則を示します。 ... では、線形化された理論におけるこの 3 次元の対応から始めれば、3 + 1 の時空の状況について何か言うことは可能ですか? ... 3 次元から 4 次元に移行する場合、媒体の幾何学的記述に重要な違いがあります。 3 次元では、ディスクリネーションの効果は曲率を生み出すことであると言えます。アインシュタインテンソル Gij を使用して非互換性方程式を記述しましたが、曲率テンソルとアインシュタインテンソルが等価であるとは明言しませんでした。 3 次元では、それらが同じ数の独立した成分を持っていることはよく知られています。つまり、曲率テンソルがゼロの場合、アインシュタインテンソルもゼロであり、その逆も同様です。欠陥が存在すると、非自明なアインシュタインテンソルが生成されます。これは、曲率テンソルがゼロではないことも意味します。アインシュタインのテンソリがゼロであっても曲率を持つことができるため、4 次元 (またはそれ以上) では同じ対応は成り立ちません。特に、音源から遠く離れた場所では、曲率テンソルが非ゼロになる可能性があります。実際、これは一般相対性理論でも起こります。なぜなら、時空はソースから遠く離れても曲がっているからです。類推を 4 次元のコンテキストに拡張すると、欠陥の影響は多様体を介して伝播し、3 次元のように純粋に局所的ではないことを期待する必要があります。 Kleinert ... 線形化されたアプローチを採用し、ねじれと曲率を持つ時空は、「特異座標変換」を使用して平坦な時空から生成でき、転位とディスクリネーションで満たされた媒体と完全に同等であることを示しました。言い換えれば、彼の特異な座標変換は、相容れない状態をもたらす塑性変形の時空等価である...したがって、少なくともこの近似では、時空は欠陥状態と見なすことができ、欠陥は他に何もない.質量、質量電流、スピン。次に重要な点は、線形近似を超えようとすることです。線形化された理論を使用するために、以前の比較は小さな欠陥を想定して行いました。すでに述べたように、この仮定は、ディスクリネーションの密度を定義するための基本です。また、実際の物体には欠陥のサイズに物理的な制約があることも考慮しなければなりません。追加または欠落した物質が構造に亀裂を生じさせるようなものであってはなりません。したがって、現象学的観点からは、通常、線形フックの法則が使用される欠陥の弾性理論の場合のように、線形理論を使用することで十分であることがよくあります。

ただし、曲率とねじれは、平行移動手順によって常に幾何学的に導入できます... 曲率とねじれを支配する方程式には近似が含まれていないため、幾何学的処理の観点から線形化は必要ありません。 ... ... 媒質の状態を特徴付ける四次元方程式 ... [である] ... 非互換性方程式の非線形一般化 ... ねじれと転位テンソル間の比例性。 ... [それら]... と ... アインシュタイン・カルタン場方程式 ... の間の対応 ... [ねじれと転位テンソル間の比例性について]... を使用してPalatini テンソルの定義 ... ... すると、アインシュタイン・カルタン時空は 4 次元連続体の欠陥状態とみなすことができ、この連続体の力学特性を表す方程式は、空間の非互換性方程式とねじれ源方程式に対応します。 -時間。この対応は、アインシュタイン・カルタン理論の興味深い類似点です。この類推の意味は、欠陥の線形理論で三次元方程式を使用するとき、物理的根拠で明らかになります。転位密度はモーメント応力テンソルに類似し、欠陥の総密度は次のようになります。力応力テンソル。 ... このアナロジーでは、半直積 P(10) = SO(1,3) x T(4) によって定義されるポアンカレ群が、R3 のユークリッド群の代わりになります。この場合、6 種類のディスクリネーションのような変形と 4 種類の転位のような変形があり、トポロジカルな欠陥で満たされた 10 の異なるリーマンカルタン空間が生成されます。 ... T (4) 内のバーガースベクトル B と SO(1,3) 内のフランク行列 G は、線状欠陥領域の周りのリーマン・カルタン空間 U4 における四面体の平行移動によって定義されます。このように、曲率とねじれのある時空は、転位とディスクリネーションで満たされた歪んだ媒体と考えられています...」.

Einstein-Hilbert gravity as a spin-2 field theory in flat spacetime:

D4-D5-E6-E7-E8 VoDou 物理モデルの物理 4 次元 SpaceTime は、RP1 x S3 によってグローバルに、ミンコフスキー空間によってローカルに連続的に近似される 4 次元ハイパーダイヤモンド格子 SpaceTime であり、重力は 15- MacDowell-Mansouri 機構による次元共形群スピン (2,4)。一般相対性理論の曲がった時空は、基本的なものとは見なされていませんが、平坦な時空における質量のない重力子の線形スピン 2 場の理論から始めて、高次の項を追加してアインシュタイン・ヒルベルト重力 (宇宙定数なしで - 宇宙定数を取得するには、大規模なスピン 2 重力子を使用します)。したがって、観測された曲がった時空は、観測できない平らな時空に基づいています。

リチャード・ファインマンの著書 Lectures on Gravitation (1962 年から 1963 年にカリフォルニア工科大学で講演)、Addison-Wesley 1995 には、Brian Hatfield による量子重力に関するセクションが含まれています。質量のないスピン 2 場が測定基準として解釈できるという事実は、単に「偶然の一致」だった... 散乱だけでなく静的な力を生み出すために、[対のいずれかの粒子による単一の重力の放出または吸収]粒子の] 両方の粒子を同じ内部状態にしておかなければならない ... したがって、重力理論は整数スピンを持たなければならない. ... 交換粒子が奇数の整数スピンを持っているとき、電荷が反発し、反対の電荷が引き合うように ... 交換された粒子が運ぶとき整数スピンでさえ、ポテンシャルは普遍的に魅力的...交換された粒子がスピン 0 であると仮定すると、スピン 1 光子への重力の結合が失われます ... 重力は長距離の力であるため、重力は質量ゼロですそして、エネルギーを結合できるようにするためにスピン2です普遍的な引力を持つ物質の内容 ... したがって、重力場はランク 2 のテンソル場で表されます ... 反対称部分は 2 つのスピン 1 フィールドのように振る舞います ... したがって、捨てるべきです。これにより対称テンソル場が残ります...より高いスピンの可能性は無視されます...".

ファインマンの本には、ジョン・プレスキルとキップ・S・ソーンによる序文も含まれており、その中で彼らは次のように述べています。摂動理論の 1 ループ次数でユニタリティを維持するための量子化理論 ....最終的には DeWitt ... および Faddeev と Popov ... ヤン・ミルズ理論と重力の共変量子化を任意に一般化する方法を考案したのは ...ループ順序...」。 Frank Wilczek は、Physics Today の記事 (2002 年 8 月、10 ～ 11 ページ) で次のように述べています。再正規化理論が標準モデルでどのように機能するか、そしてそれがどのように重力を含むように拡張するかは、標準モデル自体では、すべての積分を修正するために有限数のパラメータを指定するだけでよいのに対し、重力を含めた後、無限の数が必要です. . しかし、それは大丈夫です. ... 処方箋は、すべての非最小結合項の係数をある基準エネルギースケールでゼロにすることです ... プランクスケールよりもはるかに下 ... 結果 ... は ... はるかに下です.観察の限界...」。ハットフィールドは、量子重力のセクションで次のようにも述べています。「...場が量子化されると、場の各モードはゼロ点エネルギーを持ちます。場は無数のモードで構成されているため、その真空エネルギーは場の量子場は無限です. この無限は場の演算子の通常の順序付けによってすぐに処分されます. そうすることを正当化する理由は、私たちは単にエネルギースケールのゼロ点を再定義しているだけであり、それは最初から任意です.すべてのエネルギーに重力を加えると、これを避けることができなくなります. ... このような真空エネルギー密度は、重力理論では宇宙定数として現れます. ... これは大きな問題です. ...ある種の隠れた対称性が理論の純粋な重力理論を有限にするかもしれないという希望でした. しかし、2 ループ補正のコンピュータ計算は、この希望を打ち砕く発散的な結果をもたらしました. ... 紫外線の振る舞いを改善する 1 つの方法は、より多くの対称性を理論に組み込むために... 1 つのポップこのアプローチは「超重力理論」と呼ばれる ... 「超対称性」と呼ばれるボソニック場とフェルミオン場の間の対称性に基づく ... 残念ながら、時空の次元が 4 の場合、潜在的なカウンタータームがまだ存在する (7 つのループから始まる最良の場合）。 ...」. [D4-D5-E6-E7-E8 Vodou 物理モデルには、重力だけでなく、標準モデルと重力の両方が含まれていることに注意してください。問題。]

プレスキルとソーンは序文で次のようにも述べている.「...講義...[含まれる]...一般相対性理論の基礎への珍しいアプローチ...そのアプローチは...質量のないスピンの理論を発展させる. -2 場 (重力子) は、物質のエネルギー運動量テンソルと結合しており、理論を自己無con着にする努力が必然的にアインシュタインの一般相対性理論につながることを示している....このような主張をしたのは、フェインマンが最初ではなかった. . ... 自由な質量のないスピン 2 場のフィールド方程式は、1939 年にフィアーツとパウリによって書き留められた .... ロバート・クライクナン ... 質量のないスピン 2 の一貫した理論として一般相対性理論を導き出す問題を研究した彼は 1946 年から 47 年の未発表の学士論文で自分の結果を説明した ... クライクナンは重力が全エネルギー運動量テンソルに結合するとは想定していなかった ... 彼はこの結果を場の一貫性の結果として導き出した. equatiions. .... Kraichnan は、Instit でこの問題を追求し続けました。 1949 ～ 50 年に高等教育を受ける。 ...彼はブライスドウィットからいくらかの励ましを受けました ... アインシュタイン ... アインシュタイン自身が苦労して獲得した幾何学的洞察を拒否する重力へのアプローチにぞっとしました。 ... クライヒナンは ... 1955 年まで発表しなかった ... 1954 年の論文で ... Suraj N. Gupta ... 次のように進む: 「ソース」が質量のないスピンに結合する理論を構築したい-2 フィールド h_uv は、スピン 2 フィールド自体のエネルギー運動量を含むエネルギー運動量テンソルです。ソースが自由場理論のエネルギー運動量テンソル 2T^uv (h では 2 次) であるように選択されている場合、このソースを h_uv に結合すると、ラグランジアンの 3 次項が誘導されます。ラグランジアンのこの立方項から、エネルギー運動量テンソルの対応する立方項 3T^uv を推測でき、これがソースに含まれます。これにより、4 次項 4T^uv などが生成されます。反復手順は、完全な非線形アインシュタイン方程式を生成するために合計できる無限級数を生成します。 ... 議論の最初の完全版 (および特にエレガントなバージョン) は、1970 年に Deser によって発行されました。 Stanley Deser の論文 Gen. Rel。重力1 (1970) 9-18 は、Misner, Thorne, and Wheeler, Gravitation, Freeman 1973, pp. 424-425 に記載されています。等価原理を意味する普遍的な結合に私たちを導いた. ... [] 最初の平らな「背景」空間はもはや観測されない」言い換えれば、アインシュタインの場の方程式へのこのアプローチは、「曲率のない曲率」または - 同様に - 「平らな時空のない平らな時空」として要約することができます。 ……」。 Preskill と Thorne は、序文で次のようにも述べています。「... ワインバーグは、... 重力子散乱振幅の分析特性に関する非常に合理的な仮定から... 相互作用する質量のないスピン 2 粒子の理論は粒子が普遍的な強さで物質 (それ自体を含む) と結合する場合、つまり、等価性の強い原則が満たされる場合にのみ、ローレンツは不変である.... 等価性の原則が確立されると、次の構築に進むことができる.アインシュタインの理論……」。スティーブン・ワインバーグは著書『重力と宇宙論』(Wiley 1972) の序文で次のように述べている.強い、弱い、電磁的な相互作用が幾何学的な用語で理解できると期待してはいけないと教えてくれました.そして、幾何学的に強調しすぎると、重力と他の物理学との深いつながりをあいまいにするだけです.リーマン幾何学の代わりに、私は一般相対性理論の議論は、実験から導き出された原理、つまり重力と慣性の等価性の原理に基づいている. ... リーマン幾何学は、等価原理を活用するための数学的ツールとしてのみ現れ、重力理論……」。

局所的なミンコフスキー空間ではなく、一般相対性理論の湾曲した空間時間で開始すると、15 次元共形群 Spin(2,4) によるミンコフスキー空間時間の共形変換が共形変換に対応することがわかります。一般相対性理論の 4 次元 SpaceTime M4 の一般相対論的座標変換のグループ Diff(M4) の無限次元共形サブグループによる湾曲した SpaceTime の共形サブグループは、共形構造を維持し、共形構造を維持する一般相対論的座標変換として定義されます。ワイル共形群と呼ばれる無限次元の共形サブグループ。 (ワードとウェルズ、ツイスター幾何学と場の理論、ケンブリッジ 1991、p. 261 を参照してください。) 4 次元の曲率である時空の曲率を調べるには (Misner, Thorne, and Wheeler, Gravitation, Freeman 1973 を参照)、256 = 4^4 の成分テンソル Rabcd から始めて、曲率 Rabcd = R[ ab][cd] = R[cd][ab] および R[abcd] = 0 および Ra[bcd] = 0 で、リーマン曲率テンソル Rabcd に 20 個の独立した成分があることがわかります。次に、Rabcd を 10 成分の対称 Ricci テンソル Rab と 10 成分の共形トレースレスワイルテンソル Cabcd に分解します。次に、アインシュタインテンソル Gab は Gab = Rab - (1/2)R で与えられます。ここで、R はスカラー曲率です。リーマンテンソル Rabcd はビアンキアイデンティティに従い、アインシュタインテンソル Gab は収縮ビアンキアイデンティティに従う唯一の収縮であり、幾何学的に境界の境界がゼロであることを意味します。スピノールまたはツイスターの用語で書かれたリーマン、リッチ、および共形ワイルテンソルを表示するには、ペンローズとリンドラー、スピノールと空間時間、vols を参照してください。 1 と 2、ケンブリッジ 1986 年。ペンローズ (エンペラーズニューマインド、オックスフォード 1989)放射線の波を運ぶ電磁場。

一般相対性理論の曲がった時空から始めて、Sardinashvily の共形重力とヒッグス構造を定式化する場合、15 次元の共形群 Spin(2,4) を無限次元のワイル共形群に置き換えます。 gr-qc/9805083 の Gyngazov、Pawlowskiy、Pervushinz、および Smirichinski の一般相対性理論と共形統一理論における適切な時空力学に非常によく似たものを得るかもしれません。彼らのモデルでは、D4-D5-E6 モデルと同様に、ラグランジアンにはヒッグス機構によってリンクされている 2 つのセクターがあります。そして、陽子質量のエネルギーである特徴的なエネルギーを持つ内部対称空間に作用する標準模型セクター. ギンガゾフ、パウロウスキー、ペルブシン、スミリチンスキーが言うように、「...大まかに言うと、プランク質量は陽子の多重度に他なりません。質量...」であり、D4-D5-E6 モデルが言うように、プランク質量/プロトン質量比は 10^19 のオーダーです。 Gyngazov、Pawlowski、Pervushin、Smirichinski の共形統一理論には、ニュートリノなどのスピノール粒子が含まれています。スピノールの SpaceTime 変換は、開始空間ポイントで終了する空間ループを一周すると、4 次元でねじれ変位を生成します。ねじれを伴う重力は、独立変数としての接続を変化させるというカルタンの観点から、またアインシュタインの観点から変化するメトリックに由来します。カルタンの観点からは、ねじれは伝播せず、ねじれのスピンへの結合は重力定数 G の大きさである (Gockeler and Schucker, Differential Geometry, Gauge Theories, and Gravity, Cambridge 1987, p. 71, and Freund, Supersymmetry 、ケンブリッジ 1986 年、p.104-105)。コンフォーマルワイル曲率は、Buchbinder、Odintsov、および Shapiro の著書『Effective Action in Quantum Gravity』(IOP 1992) で、ねじれとスピンに関連して議論されています。 Donoghue は、重力を低エネルギーでの有効場の理論として定式化する方法を示しました。彼は短い調査記事も書いています。