ディラック-ヘステネススピノル場

THE RELATION BETWEEN MAXWELL, DIRAC,AND THE SEIBERG-WITTEN EQUATIONS

WALDYR A. RODRIGUES JR

Maxwell、Dirac、およびSeiberg-Witten方程式の間の予想外の関係について説明します。最初に、第1種のMaxwell-Dirac等価（MDE）を示します。その提案された同等性にとって重要なのは、ψ（ディラック-ヘステネススピノル場の与えられたスピノル場の代表）を解く可能性です。方程式̃F =ψγ21ψ、ここでFは与えられた電磁場です。そのようなタスクが提示され、Fには6（実）自由度があり、ψには8（実）自由度があるため、MDEは存在しない可能性があると主張するMDEに対するいくつかの異議を明確にすることができます。また、電荷と単極子を記述する一般化されたマクスウェル方程式を確認します。一般化されたマクスウェル方程式の形式を持つ少なくとも2つの忠実な場の方程式があるため、これまで磁気単極子の証拠がない場合でも、企業は価値があります。 1つは、マクスウェル理論に関連する一般化されたヘルツポテンシャル場の方程式（詳細に説明します）であり、もう1つは、ディラック-ヘステネススピノル場の2形式の場部分によって満たされる（一般化されたマクスウェル型の）（非線形）方程式です。これは、自由電子のディラック-ヘステネス方程式を解きます。これは、第2種のMDEとも呼ばれる新しい結果です。最後に、最初の種類のMDEを合理的な仮説とともに使用して、ミンコフスキー時空に関する有名なSeiberg-Witten方程式の導出を行います。それらの方程式の物理的解釈が提案されています。

1. Introduction.

[1、2、3、4、5]で、標準的な共変スピノル場を使用して、Campolattaroは、マクスウェル方程式が非線形ディラックのような方程式と同等であると提案しました。この主題は、クリフォード束形式を使用して[35、39]でさらに開発されており、そのいくつかと一緒に議論されています。一連の論文でのアプリケーション、たとえば[11、12、13、17、18、19、22、26、28、29、30、35、39、40]。 Maxwell-Dirac等価（MDE）を証明する重要なポイントは、Dirac-Hestenesスピノル場の任意の代表に対してそれを観察すると始まります（詳細については、セクション2を参照してください。詳細については、

先に進む前に、ヌルフィールド、つまりF 2 = 0の場合、Fから（1.1）に関連付けられたスピノルはマヨラナスピノル場でなければならないことを思い出します[17、18、39]が、この概念ではそのような概念は必要ありません。論文。さて、マクスウェル方程式を満たす電磁場Fには6つの自由度があり、ディラック-ヘステネススピノル場には8つの（実際の）自由度があるため、一部の著者は [35、40]で使用されているアプローチでは、いくつかのゲージ条件が非線形方程式（マクスウェル方程式と同等）に課され、それによって通常の線形ディラック方程式（クリフォードではディラック-ヘステネス方程式と呼ばれます）に変換されます。バンドル形式）。たとえば、[14]の主張は、[35、40]で見つかったMDEは一般的ではあり得ないというものです。議論は、ゲージ条件を課すことは、（1.1）を満たすψが6つの（実際の）自由度しか持てないことを意味し、これは、マクスウェル方程式に対応するディラック-ヘステネス方程式が制限されたクラスによってのみ満たされることを意味します。 Dirac-Hestenesスピノル場、つまり6自由度のスピノル場。ちなみに、[14]では、電荷と単極子によって生成される電磁界を記述する一般化されたマクスウェル方程式（Je、Jm∈sec（M））[19]は、クリフォード束の形式では成り立たないとも主張されています。その作者にとって、形式主義はJm = 0を意味します。以下では、[14]のこれらの主張を分析し、それらが間違っていることを証明します（セクション3）。私たちの企業の理由は、以下で明らかになるように、（1.1）と（1.2）をいくつかの合理的な仮説とともに理解することで、有名なSeiberg-Witten単極子方程式の導出と可能な物理的解釈さえも可能にするためです[21、24 、36]。だから、私たちの計画は次のとおりです。最初に、セクション2で、この論文で使用されている数学的形式を紹介し、クリフォード場を使用してマクスウェル方程式とディラック方程式を書く方法を示します。また、クリフォード束形式でワイルスピノル場とパリティ演算子を紹介します。セクション3では、（1.1）のFが与えられると、ψの方程式を解くことができることを証明します。ψには8つの自由度があり、そのうちの2つは未定であり、不確定性は安定性の要素に関連していることがわかります。スピン平面γ21のグループ。これは、反転式と呼ぶことができる重要で美しい結果です。セクション4では、一般化されたマクスウェル方程式を紹介し、セクション5では、一般化されたヘルツ方程式を紹介します。セクション6では、第1種の数学的ディラック-マクスウェル等価性を証明し[2、35]、それによって自由なマクスウェル方程式からディラック-ヘステネス方程式を導き出します。セクション7では、セクション6で研究したものとは異なる新しい形式の数学的Maxwell-Dirac等価（第2種のMDEと呼ばれる）を紹介します。この第2種の新しいMDEは、電子が「複合」システムであることを示唆しています。。第2種のMDEを証明するために、特定のヘルツポテンシャルが満たす非線形の一般化されたマクスウェルのような方程式（（7.1）を参照）が得られるように、ディラック-ヘステネス方程式を満たすディラック-ヘステネススピノル場を分解します。電磁界と同じ数学的性質のオブジェクトによって数学的に表されるフィールド、つまり、Π∈sec（M）⊂secᏯ（M）。この新しい同等性は、電子が2つの成分に分割される可能性があるという最近の（野生の）推測があるという事実を考慮すると、非常に示唆的です[6]（[38]も参照）。マリスによって発表されたこの素晴らしい主張[21]が真実である場合、何が起こっているのかを理解する必要があります。セクション6で提示された新しいMDEは、最終的には「電子分裂」の背後にあるエレクトリノへのメカニズムを理解するのに役立つ可能性があります。ここでは、これらのアイデアについては説明しません。代わりに、セクション8で、有名なSeiberg-Witten単極子方程式のミンコフスキー時空に類似したものが、合理的な仮説が課されると、第1種のMDEから自然に生じることを示すことに注意を集中します。また、これらの方程式の可能な一貫した解釈を提示します。実際、最初のSeiberg-Witten方程式を満たすDirac-Hestenesスピノル場がパリティ演算子の固有ベクトルである場合、その方程式は、電磁相互作用によって結合された、反対の磁気様電荷の質量のない単極子のペアを表すことを証明します。分野。最後に、セクション9で、結論を示します。

9. Conclusions.

この論文では、2種類の可能なMDEを展示しました。多くの人が上記のアイデアを物理的な観点から推測的に感じるでしょうが、少なくとも数学的な観点からは、それらが重要になることを願っています。実際、それほど昔のことではありませんが、制約F 2≠0（第1種のMDEを導出するために必要な条件）を満たす自由マクスウェル方程式（∂F= 0）の解を研究することで、超光速解のファミリーが発見されました。マクスウェル方程式と理論物理学のすべての主要な線形相対論的方程式[16、34]。第2種のMDEの研究により、ディラック方程式の予想外の解釈が明らかになりました。つまり、電子は「電気」タイプと「磁気」タイプの2つの電流の自己相互作用から構築された合成システムのようです。もちろん、この発見が物理的な意味を持っているかどうかを言うのは時期尚早です。また、合理的な仮説とともに第1種のMDEを使用することにより、ミンコフスキー時空におけるSeiberg-Witten単極子方程式の意味に光を当てることができることも示しました。発見された結果が、Seiberg-Witten方程式（ユークリッド計量テンソルを備えた4次元多様体のトポロジーの研究における基本的な鍵）が物理学で重要な役割を果たす可能性があることを示していることを願っています。現象が発生し、ローレンツ多様体です。

Curvature, Maxwell’s and Dirac-Hestenes Equations,and Supersymmetric Systems

時空にわたるクリフォード束のディラック演算子とラプラシアン演算子を提示します。これは、カルタン-ワイルのメトリック互換線形接続に関連付けられ、トレーストーションQを使用します。非縮退メトリックの場合、ドリフトを伴う一般化ブラウン運動の理論を取得します。はQのメートル共役です。Qの構成方程式を与えます。これには、2つのポテンシャル、ゼロフィールドを持つ調和方程式（ボーム-アハロノフポテンシャル）とヘルツを一般化する共正確項によって特徴付けられるマクスウェルの方程式が含まれていることがわかります。ミンコウスキー空間におけるマクスウェル方程式のポテンシャル。一般的なリーマン多様体のヘルツポテンシャルの理論を展開します。理論の不変状態を研究し、不変のBorn測度を持つこの状態でのQの分解を決定します。対数ポテンシャル微分項に加えて、不変密度によって正規化された以前のマクスウェルポテンシャルがあります。これらの正規化されたマクスウェルのポテンシャルの観点から、カルタン-ワイルラプラシアンによって生成されたブラウン運動の時間発展不可逆性を特徴づけます。ミンコフスキー空間でのソースレスマクスウェル方程式と、カルタン-ワイル接続を備えたミンコフスキー空間で記述されたディラック-ヘステンスピノル場のディラック-ヘステン方程式の同等性を証明します。 Qがユークリッド空間で生成された拡散過程の不変状態によって特徴付けられる場合、Qに現れるマクスウェルのポテンシャルは、ディラック-ヘステンスピノル場の内部回転自由度から導出されたものとして代替的に見ることができますが、マクスウェルの方程式とDirac-Hestenes方程式は、これらのポテンシャルがスピン平面に対応する2つの成分しかない場合に有効です。これらの方程式の同等性を維持するCartan-Weyl接続のローレンツ不変拡散表現、さらにこれらのブラウン運動に沿った微分形式の拡散を示します。平坦なミンコフスキー計量の相対論的ブラウン運動理論の構築は、ユークリッド構造と直交不変ガウスの代わりに、縮退したクリフォード構造とオロンとホーウィッツの相対論的ガウスの選択に従うことを証明します。さらに、標準的なシンプレクティック構造で提供される位相空間のランダムなポアンカレ-カルタン不変量を示します。 Qの正確な項のエネルギー形式を紹介し、基底状態の表現から相対論的量子ポテンシャルを導き出します。不変状態のカルタンスカラー曲率の平均からこれらの正確な項に対応する場の方程式を導き出し、量子ポテンシャルが1 / 12R（g）で識別できることを見つけます。ここで、R（g）はメトリックスカラー曲率です。一般化されたブラウン運動の観点から、異方性ノイズテンソルと重力場の発生との間にリンクを確立します。したがって、自明でない曲率がある場合、重力場との量子非局所相関を特定できます。この研究と量子重力における熱核アプローチとの関係について議論します。最後に、この正確な項に限定されたQの場合について、E.Wittenによる古典的な意味での超対称システムを提示し、Qの電磁ポテンシャル項を含めるための可能な拡張について説明します。