Poincar ́e’s forgotten conferences on wireless




Jean-Marc Ginoux



and Loic Petitgirard








At the beginning of the twentieth century while Henri Poincar ́e (1854-1912) was already deeply involved in the developments of wire-less telegraphy, he was invited, in 1908, to give a series of lectures at the ́Ecole Sup ́erieure des Postes et T ́el ́egraphes (today Sup’T́ele com). In the last part of his presentation he established that the necessar


y con-dition for the existence of a stable regime of maintained oscillations in a device of radio engineering completely analogous to the triode: the singing arc, is the presence in the phase plane of stable limit cycle.


The aim of this work is to prove that the correspondence highlighted by Andronov between the periodic solution of a non-linear second or-der differential equation and Poincar ́e’s concept of limit cycle has been carried out by Poincar ́e himself, twenty years before in these forgotten conferences of 1908.




アンリ・ポアンカレ1854-1912)がすでに無線電信の開発に深く関わっていた20世紀の初めに、彼は1908年に、「EcoleSup」で一連の講義を行うよう招待されました。 T'el'egraphes(今日のSup'T'elecom)。 彼のプレゼンテーションの最後の部分で、彼は、三極真空管に完全に類似した無線工学のデバイスで維持された振動の安定したレジームが存在するために必要な条件である、歌うアークが安定した位相面での存在であることを確立しました リミットサイクル。 この作業の目的は、アンドロノフが強調した非線形2微分方程式の周期解とポアンカレのリミットサイクルの概念との対応が、20年前にポアンカレ自身によって行われたことを証明することです。 1908年の忘れられた会議。






: maintained oscillations, wireless telegraphy, limit cycles,stability, singing ar










1 Introduction


The famous correspondence established by the Russian mathematician Alek-sandr Andronov (1901-1952) in a note published in the Comptes Rendus of the French Academy of Sciences in 1929 was until now considered by scien-tists and historians of science as a key moment in the development of the theory of nonlinear oscillations. One of the first to point out the importance of this result was Leonid Mandel’shtam (1879-1944), the Ph-D advisor of An-dronov, during the sixth General Assembly of the Union Radio-Scientifique Internationale (U.R.S.I.)1




ロシアの数学者アレクサンドルアンドロノフ(1901-1952)が1929年にフランス科学アカデミーのComptes Rendusに発表したメモで確立した有名な通信は、これまで科学者や科学史家によって重要な瞬間と見なされていました。 非線形振動の理論の発展。 この結果の重要性を最初に指摘したのは、第6回ユニオンラジオサイエンティフィックインターナショナル(U.R.S.I.)の総会で、アンドロノフの博士課程の指導教官であるレオニードマンデルシュタム(1879-1944)でした1






The relationship between the work of Poincar ́e, improved by Birkhoff, and those of Lyapunov, and our physical problem was reported by one of us2. Three things should be distinguished here. First the qualitative theory of differential equations devel-oped by Poincar ́e proved very efficient for qualitative discussion of physical phenomena that occur in systems used by radio engineering. But neither the physician nor a fortiori the engineer can not be satisfied with a qualitative analysis. Another series of works of Poincar ́e provides a method that enables to ana-lyze our problems quantitatively. Finally the work of Lyapunov can give a mathematical discussion of the questions of stability.”[Mandel’shtamet al., 1935, p. 83]


「ビルコフによって改善されたポアンカレの仕事とリアプノフの仕事との関係と、私たちの身体的問題は、私たちの1人によって報告されました2。 ここでは、3つのことを区別する必要があります。 最初に、ポアンカレによって開発された微分方程式の定性理論は、無線工学で使用されるシステムで発生する物理現象の定性的議論に非常に効率的であることが証明されました。 しかし、医師も技術者も定性分析に満足することはできません。 ポアンカレの別の一連の作品は、私たちの問題を定量的に分析することを可能にする方法を提供します。 最後に、リアプノフの研究は、安定性の問題について数学的議論をすることができます。」[Mandel’shtamet al。、1935p83]






A few years later, Nicolas Minorsky (1885-1970) wrote in his


Introduc-tion to Non-Linear-Mechanics”:










Andronow3 was first to suggest that periodic phenomena in non-linear and non-conservative systems can be described math-ematically in terms of limit cycles which thus made it possi-ble to establish a connection between these phenomena and the theory of Poincar ́e developed for entirely different purposes.”


[Minorsky, 1947, p. 63]




Andronow3は、非線形および非保存的システムの周期的現象を数学的に記述できることを最初に示唆しました。これにより、リミットサイクルの観点から、これらの現象とポアンカレの理論との関係を確立することが可能になりました。 まったく異なる目的のために。」 [Minorsky1947p63]








Since then, many scientists and historians of science have considered An-dronov as the first to have emphasized a connection with Poinc


ar ́e’s works 4








Henceforth, by using, transposing, or extending Poincar ́e’s ar-senal Andronov would endeavor to develop Mandel’shtam’s pro-gram. Also, reaping Lyapounov’s heritage, Andronov focused on the problem of stability. Combining Poincar ́e’s small-parameter method with Lyapounov’s stability theory, he established a


method for finding periodic solutions and studying their stability.”[Aubin & Dahan, 2002, p. 286




「今後、Poincar'eの兵器庫を使用、転置、または拡張することにより、AndronovMandel’shtamのプログラムの開発に努めます。 また、Lyapounovの遺産を享受し、Andronovは安定性の問題に焦点を合わせました。 Poincar'eの小パラメータ法とLyapounovの安定性理論を組み合わせて、彼は周期解を見つけてその安定性を研究する方法を確立しました。」[AubinDahan2002p286




As above mentioned, let’s notice that the correspondence of Andronov


does not only deal with the analogy between the shape of the periodic solu-tion of a nonlinear second order differential equation and Poincar ́e’s concept


of limit cycle. In fact, the result of Andronov is of much grea


ter impor-tance since it concerns the stability of the limit cycle. In other words, it states that the necessary condition for establishing a stab


le regime of main-tained oscillations5 in a system (a radio engineering device for example) is the existence, in the phase plane, of a stable limit cycle.


Generally, Andronov’s result is associated with that of Balthazar Van der


Pol (1889-1959) who is wrongly credited for having highlighted the existence of a limit cycle in an oscillating circuit comprising a triode6. Although the


triode was invented in 1907, its use was widespread only after the first


World War. But at this time, Poincar ́e had already died prematurely. So,the question that arises then is the following




上記のように、アンドロノフの対応は、非線形2微分方程式の周期解の形状とポインカーのリミットサイクルの概念との間のアナロジーを扱っているだけではないことに注意してください。実際、アンドロノフの結果は、リミットサイクルの安定性に関係しているため、はるかに重要です。言い換えれば、システム(たとえば無線工学装置)で維持された振動5の安定したレジームを確立するために必要な条件は、位相面での安定したリミットサイクルの存在であると述べています。 一般に、アンドロノフの結果は、トライオードを含む振動回路にリミットサイクルが存在することを強調したことで誤ってクレジットされたバルタザールファンデルポル(1889-1959)の結果と関連しています6。が 三極真空管1907年に発明され、その使用は第一次世界大戦後にのみ普及しました。しかし、この時点で、ポアンカレはすでに時期尚早に亡くなっていました。したがって、発生する問題は次のとおりです。






What kind of device has been employed by Poincar ́e to observe maintained oscillations






Before the advent of the triode, a device was commonly used in wireless telegraphy: the singing arc. Completely analogous7 to the triode the singing


arc was used to generate electromagnetic waves (radio waves)






三極真空管が登場する前は、無線電信で一般的に使用されていたのは、歌う弧です。 三極真空管に完全に類似した7、電磁波(電波)を生成するために歌う弧が使用されました




During the last two decades of his life, Poincar ́e had been involved


in many research on the propagation of electromagnetic waves. In 1890,


he wrote to Hertz to report a miscalculation in his famous experiments8.


Three years later, he solved the telegraphists equation [Poincar ́e, 1893].


The following year he published a book entitled: “Oscillations ́electriques”


[Poincar ́e, 1894] and in 1899 another one: “La Th ́eorie de Maxwell et les os-cillations hertziennes” [Poincar ́e, 1899]. This book, also published in English and German in 1904 and reprinted in French in 1907, has been co


nsidered as a reference. In Chapter XIII, page 79 Poincar ́e stated that the singing arc and the Hertz spark gap transmitter were also analogous except that os-cillations are maintained in the first and damped in the second. Thus, from the early twentieth century until his death Poincar ́e continued his research on wireless telegraphy and on maintained waves and oscillations [Poincar ́e,1901, 1902, 1903, 1904, 1907, 1908, 1909abcde, 1910abc, 191




On July 4th, 1902 he became Professor of Theoretical Electricity at thé Ecole Sup ́erieure des Postes et T ́el ́egraphes (today Sup’T́elecom) in Paris where he taught until 1910. The director of this school,́Edouard Estauni ́e(1862-1942), also asked him to give a series of conferences every two years.


In 1908, Poincar ́e chose as the subject: wireless telegraphy. The text of his lectures was first published weekly in the journal La Lumi`ere ́electrique


[Poincar ́e, 1908] before being edited as a book [Poincar ́e,1909d].


In the fifth and last part of these lectures entitled: “T ́el ́egraphie dirig ́ee :


oscillations entretenues9 Poincar ́e stated a necessary condition for the es-tablishment of a stable regime of maintained oscillations in the singing arc.


More precisely, he demonstrated the existence, in the phase plane, of a stable


limit cycle.


This paper is organized as follows. In the second section the fifth part of


the Poincar ́e’s conferences [Poincar ́e, 1908] will be fully presented and ana-lyzed. Then, it will be compared to Andronov’s work of 1929 [Andronov, 1929]


presented in the third section and it will be shown in fourth section that


Poincar ́e and Andronov results are completely identical. Thus, the reasons


why this fundamental paper of Poincar ́e has remained in oblivion, for scien-


tists and historians of science for more than one century, will be discussed in the last section








Let’s notice that this closed curve is only a “metaphor” of the solution


since Poincar ́e do not use any graphical integration method such as “iso-clines15. Moreover, the main purpose of this representation is to specify


the sense of rotation of the trajectory curve which is a preliminary necessary


condition to the establishment of the following proof involving the Green-Ostrogradsky theorem




彼の人生の最後の20年間、ポアンカレは電磁波の伝播に関する多くの研究に携わってきました。 1890年に、彼は彼の有名な実験での誤算を報告するためにヘルツに手紙を書きました83年後、彼は通信士の方程式を解きました[ポアンカレ1893]。 翌年、彼は「振動の電気」[ポアンカレ1894]というタイトルの本を出版し、1899年には別の本「ラ・オリー・ド・マクスウェル・エ・レ・オ・シレーション・ヘルツィエンヌ」[ポアンカレ1899]を出版しました。この本も1904年に英語とドイツ語で出版され、1907年にフランス語で再版されました。 参考として考慮されます。第XIII章の79ページで、ポアンカレは、振動が最初に維持され、2番目に減衰されることを除いて、シンギングアークとヘルツ火花ギャップ送信機も類似していると述べました。したがって、20世紀初頭から彼の死まで、ポインカーは無線電信と維持された波と振動に関する研究を続けました[ポインカー、1901190219031904190719081909abcde1910abc19111912]190274日、彼はパリのエコールシュプリエールデポステスエテルエグラフ(現在のシュテレコム)で理論電気の教授になり、1910年まで教えました。この学校の校長、エドゥアールエスタウニ(1862-1942) 、また、2年ごとに一連の会議を開くように彼に依頼しました。 1908年、ポアンカレは主題として無線電信を選びました。彼の講演のテキストは、本として編集される前に、最初に週刊誌LaLumi`eréelectrique[Poincar'e1908]に掲載されました[Poincar'e1909d]。 これらの講義の第5部と最後の部分で、「T'el'egraphie dirig'eeoscillations entretenues9」と題され、ポアンカレは、歌の弧の中で維持された振動の安定した体制を確立するために必要な条件を述べました。 より正確には、彼は位相面で安定したリミットサイクルの存在を示しました。 この論文は次のように構成されています。 2番目のセクションでは、ポアンカレの会議の5番目の部分[ポアンカレ1908]が完全に提示され、分析されます。次に、3番目のセクションで示したアンドロノフの1929年の作品[アンドロノフ、1929]と比較し、4番目のセクションでポアンカレとアンドロノフの結果が完全に同一であることを示します。したがって、ポアンカレのこの基本的な論文が1世紀以上にわたって科学者や科学史家にとって忘却され続けている理由については、最後のセクションで説明します。 ポアンカレは「iso-clines15」などのグラフィカルな積分方法を使用していないため、この閉じた曲線はソリューションの「メタファー」にすぎないことに注意してください。さらに、この表現の主な目的は、グリーン-オストログラードスキーの定理を含む次の証明を確立するための予備的な必要条件である軌道曲線の回転の感覚を指定することです。






Then, Poincar ́e explains that if y= 0 then dy/dx is infinite and so, the curve admits vertical tangents. Moreover, if x decreases x,i.e.y is negative.


He concludes that the trajectory curves turns in the direction indicated by


the arrow (see Fig. 3)






次に、ポアンカレは、y = 0の場合、dy / dxは無限大であるため、曲線は垂直接線を認めると説明します。 さらに、xx 'を減少させる場合、つまりyは負になります。 彼は、軌道曲線がによって示される方向に曲がると結論付けています。 矢印(図3を参照)




Poincar ́e writes:






Condition de stabilit ́e. - Consid ́erons donc une autre courbe non ferm ́ee satisfaisant `a l’ ́equation diff ́erentielle, ce sera une sorte de spirale se rapprochant ind ́efiniment de la courbe ferm ́ee. Si la courbe ferm ́ee repr ́esente un r ́egime stable, en d ́ecrivant la spirale dans le sens de la fl`eche on doit ˆetre ramen ́e sur la courbe ferm ́ee,et c’est `a cette seule condition que la courbe ferm ́ee repr ́esentera un r ́egime stable d’ondes entretenues et donnera lieu `a la solution du probl`eme.16[Poincar ́e, 1908, p. 391






「安定性の条件。 -したがって、微分方程式を満たす別の閉じていない曲線を考えてみましょう。これは、閉じた曲線に無期限に近づく一種のスパイラルになります。 閉じた曲線が安定した領域を表す場合、矢印の方向にスパイラルを記述することにより、閉じた曲線に戻す必要があります。この条件でのみ、閉じた曲線が安定した連続波領域を表し、次のようになります。問題の解決に立ち上がる。16[Poincaŕe1908p391






In the Notice sur les Travaux scientifiques d’Henri Poincar ́e he wrote in


1886, he defines the concept of limit cycle:




通知で、彼は次のように書いています。 1886年、彼はリミットサイクルの概念を定義します。






J’appelle ainsi les courbes ferm ́ees qui satisfont `a notre ́equation diff́erentielle et dont les autres courbes d ́efinies par la mˆeme ́equation se rapprochent asymptotiquement sans jamais le sat-teindre.17[Poincar ́e, 1886n, p. 30]




「したがって、私は微分方程式を満たし、同じ方程式によって定義された他の曲線が、それを決して満たさずに漸近的に近づく閉曲線と呼びます。」17 [ポアンカレ1886np30]




By comparing both definitions it clearly appears that the “closed curve”


which represents a stable regime of maintained oscillations is nothing else


but a limit cycle as Poincar ́e has defined it in his own works. But this, first


giant step” is not sufficient to prove the stability of the oscillating regime.


Poincar ́e has to demonstrate now that the periodic solution of equation (3)


(the “closed curve”) corresponds to a stable limit cycle




両方の定義を比較すると、維持された振動の安定したレジームを表す「閉曲線」は、ポアンカレが彼自身の作品で定義したリミットサイクルに他ならないことがはっきりとわかります。 しかし、これは、最初の「巨大なステップ」では、振動体制の安定性を証明するのに十分ではありません。 ポアンカレは、方程式(3)の周期解(「閉曲線」)が安定したリミットサイクルに対応することを実証する必要があります。








3 Andronov’s works on self-oscillations


In 1920, Aleksandr Aleksandrovich Andronov (1901-1952) entered the Elec-trical Engineering Department of the Technical High-School of Moscow where


a radio engineering specialization was proposed. Five years later, he ob-


tained a diploma in Theoretical Physics (Master Degree) at the university


of Moscow. Then, he started a Ph-D with Leonid Isaakovich Mandel’shtam


(1879-1944). This charismatic figure which is at the origin of the concept of


nonlinear thinking19has deeply influenced the young Andronov. In fact,the correspondence he established in the famous note at the Comptes Ren-dus was preceded by a short presentation of his Ph-D works20 at the sixth congress of Russian Physicists at Moscow between the 5th and 16th August 1928 [Andronov, 1928]. In this work Andronov gives the foundations of what will become the theory of nonlinear oscillations.




1920年、アレクサンドル・アレクサンドロヴィッチ・アンドロノフ(1901-1952)は、モスクワの工業高校の電気工学部に入学し、そこで電波工学の専門分野が提案されました。 5年後、彼はモスクワ大学理論物理学修士号)の学位を取得しました。 その後、レオニード・イサコビッチ・マンデルシュタム(1879-1944)で博士号を取得しました。 「ノンリニアシンキング19」のコンセプトの原点であるこのカリスマ的な姿は、若いアンドロノフに深い影響を与えました。 実際、彼がComptes Ren-dusの有名なノートで確立した通信の前に、192885日から16日にモスクワで開催された第6回ロシア物理学者会議で博士号の短い発表が行われました[Andronov1928]。 。 この作品では、アンドロノフは非線形振動の理論となるものの基礎を示しています。






However, any sufficiently rigorous general theory for such oscil-lations does not exist nowadays. Meanwhile, there is an adequate mathematical model or schema, created without any connection with the theory of oscillations, which allows a common view of all these processes to the case of one degree of freedom. This concept is the “theory of limit cycles” of Poincar ́e.” [Andronov, 1928, p.23]






「しかし、そのような振動についての十分に厳密な一般理論は、今日では存在しません。 一方、振動の理論とは関係なく作成された適切な数学的モデルまたはスキーマがあり、1つの自由度の場合にこれらすべてのプロセスの共通のビューを可能にします。 この概念は、ポアンカレの「リミットサイクルの理論」です。 [アンドロノフ、1928年、p.23]




In his conclusion, which should be compared to that of Poincar ́e [Poincar ́e, 1908,p. 391] (See above p. 6), Andronov introduced his famous neologism21:










The stable motions existing in devices capable of self-oscillations must always correspond to limit cycles.”[Andronov, 1928, p. 24]










On Monday, October 14th, 1929 the French mathematician Jacques Hadamard


(1865-1963) presented to the Academy of Sciences of Paris a note from


Alexander Andronov. The fact that Hadamard had presented this work


is not really surprising since on the one hand he was responsible for mathe-


matical analysis section at the Academy of Sciences and on the other hand


he was also correspondent of the Russian Academy of Sciences since 1922


and a foreign member of the Academy of Sciences of the USSR since 1929 22.


In this work, Andronov considers first many examples of non-conservative systems such as the problem of Cepheids for P.D.E., the Froude pendulum


and the triode oscillator for nonlinear O.D.E




19291014日月曜日、フランスの数学者ジャック・アダマール1865-1963)は、パリの科学アカデミーにアレクサンダー・アンドロノフからのメモを提示しました。 アダマールがこの作品を発表したという事実は、一方では科学アカデミーの数学分析セクションを担当し、他方では彼が責任を負っていたため、それほど驚くべきことではありません。 彼はまた、1922年からロシア科学アカデミーの特派員であり、1929年からソ連科学アカデミーの外国人会員でした22。 この作業では、アンドロノフは最初に、偏微分方程式のケフェイド変光星、フルード振り子、非線形常微分方程式の三極真空管発振器など、非保存的なシステムの多くの例を検討します。




Citons, pour le cas des ́equations aux d ́eriv ́ees partielles, le probl`eme d ́ej`a ancien de la corde vibrante excit ́ee par un archet ainsi que le probl`eme des C ́eph ́eides, tel que le traite Edding-ton (1); pour celui des ́equations diff́erentielles ordinaires, en m ́ecanique le pendule de Froude (2), en physique l’oscillateur `a triode (3), en chimie les r ́eactions p ́eriodiques (4); des probl`emes similaires se posent en biologie (5).”




偏微分方程式の場合、弓によって励起される振動する弦のすでに古い問題と、Edding-ton1)によって扱われるCepheidsの問題を引用しましょう。 常微分方程式の場合、力学ではフルード振り子(2)、物理学では三極真空管振動子(3)、化学では周期反応(4)。 生物学でも同様の問題が発生します(5)。」








5 Discussion


In this paper it has been proved that Poincar ́e in these “forgotten” con-ferences has established two correspondences between technical problems of


oscillations coming from wireless telegraphy and his own works. As well


as Andronov in his note at the Comptes Rendus. Indeed, both of them have used, on the one hand, the concept of limit cycle that Poincar ́e had introduced in his famous memoirs and, on the other hand, the concept of characteristic exponents he had developed for Celestial Mechanics (espe-cially for periodic orbits) in his so-called New Methods.


But, while the former only represents a minor step towards the theory of nonlinear oscillations, because if the limit cycle is unstable no maintained oscillations can be observed, the later is of fundamental im


portance. It is very surprising to notice that many historians of science ha


ve only focussed on the former weakening thus the impact of this result. Moreo


ver, it is diffi-cult to explain why these conferences have been completely ”


forgotten” by both scientists and historians over more than a century.


Many hypotheses are to be considered. The main reason is probably that


these conferences have never been published in Poincar ́e’s complete works,


only in the journal La Lumi`ere ́electrique (which disappeared in 1916) and


in a textbook. Moreover, they clearly tackle technological problems that


are the concern of engineers rather than mathematicians. Papers referring


specifically to these conferences address the question of diffraction of radio


waves, not maintained oscillations.


No reference to these conferences has been found until today in the tech-


nological neither mathematical literature. But other hypotheses must be stated. First it may be reminded that Poincar ́e studies the singing arc cir-cuit and not the triode circuit. But, after 1920 the singing arc is considered as completely obsolete by engineers, maybe explaining partly that nobody cares about the result of 1908. Except the fact that both singing arc and triode are analogous devices and are so modeled by the same equations, but was this known largely in the 1920s?


Second is the fact that the conferences aimed at presenting the solution


of a very “difficult” problem in 1908 to students in telegraphy engineering:


the public did not have a high mathematical background, except for the


curious who may have attended it. Considering also that during the war,


which started in 1914, most of those students may have been killed and the


memory of this work may have disappeared in the trenches.


For now, many questions are unresolved. For example: why Poincar ́e did not use the terminology limit cycle while he gives a very accurate definition


of the closed curve towards which any non-closed curve tends? Is it why the


audience was supposed to be engineers without basic notions of qualitative


theory of differential equations? The problem is that we ignore who was


precisely that day in the audience, and have no idea who may have read the


texts, who may get inspired with it (without citing it).


In any case, it remains clear that this work of 1908 represents the first


application of Poincar ́e research (on what is called today dynamical system)


in a technological problem, anticipating thus the development of the theory


of nonlinear oscillations in the twentieth century.




この論文では、これらの「忘れられた」会議でのポアンカレが、無線電信から来る振動の技術的問題と彼自身の作品との間に2つの対応関係を確立したことが証明されました。また、ComptesRendusでの彼のメモのAndronovも同様です。確かに、それらの両方は、一方では、ポアンカレが彼の有名な回想録で紹介したリミットサイクルの概念を使用し、他方では、彼が天体力学のために開発した特徴的な指数の概念を使用しました(特に彼のいわゆる新しい方法での定期的な軌道)。 しかし、前者は非線形振動の理論に向けた小さな一歩に過ぎませんが、リミットサイクルが不安定な場合、維持された振動は観察できないため、後者は基本的に重要です。科学の多くの歴史家が前者の弱体化にのみ焦点を合わせていることに気付くのは非常に驚くべきことであり、したがってこの結果の影響です。さらに、これらの会議が1世紀以上にわたって科学者と歴史家の両方によって完全に「忘れられた」理由を説明することは困難です。 多くの仮説が考慮されるべきです。主な理由はおそらく、これらの会議がポインカーの全作品に掲載されたことがなく、ジャーナルLaLumi`eréelectrique1916年に姿を消した)と教科書にのみ掲載されたことがあるためです。さらに、彼らは数学者ではなくエンジニアの関心事である技術的問題に明確に取り組んでいます。これらの会議に特に言及している論文は、維持された振動ではなく、電波の回折の問題に取り組んでいます。 これらの会議への言及は、今日まで技術文献にも数学文献にも見られませんでした。しかし、他の仮説を述べる必要があります。まず、ポアンカレは三極真空管ではなく、歌う弧回路を研究していることを思い出してください。しかし、1920年以降、シンギングアークはエンジニアによって完全に廃止されたと見なされ、1908年の結果を誰も気にしないことを部分的に説明している可能性があります。シンギングアークとトライオードの両方が類似のデバイスであり、同じ方程式でモデル化されているという事実を除いて、これは主に1920年代に知られていますか? 2つ目は、1908年に非常に「困難な」問題の解決策を電信工学の学生に提示することを目的とした会議であるという事実です。一般の人々は、それに出席した可能性のある好奇心を除いて、高い数学的背景を持っていませんでした。また、1914年に始まった戦争中に、それらの学生のほとんどが殺され、この仕事の記憶が塹壕で消えた可能性があることも考慮に入れてください。 今のところ、多くの質問は未解決です。例:ポアンカレが、閉じていない曲線の傾向がある閉じた曲線を非常に正確に定義しているのに、用語のリミットサイクルを使用しなかったのはなぜですか?聴衆が定性的な基本的な概念のないエンジニアであることになっていたのはそのためですか 微分方程式の理論?問題は、聴衆の中で正確にその日だった人を無視し、誰がテキストを読んだのか、誰が(引用せずに)それに触発されたのかわからないことです。 いずれにせよ、1908年のこの研究は、20世紀における非線形振動の理論の発展を期待して、技術的問題におけるポインカーの研究(今日の動的システムと呼ばれるもの)の最初の応用を表すことは明らかです。


On-Set Theory of Self-Excitation in Induction Generator


  • December 2009




Shakuntla Boora
















Self-consistent field theory of polarized BEC: dispersion of collective excitation


P. A. Andreev, L. S. Kuz'menkov










原子が電気双極子モーメントを持つボーズ・アインシュタイン凝縮BEC)の量子流体力学方程式のセットを構築することをお勧めします。オイラー方程式への双極子-双極子相互作用(DDI)の寄与が得られます。中程度の分極の進化のための量子方程式が導き出されます。数学的方法を開発することにより、分極の進化に対する相互作用の影響を研究することができます。開発手法は、ダイナミクスDDIの影響を受けるさまざまな物理システムに適用できます。量子流体力学からの偏極粒子のグロス-ピタエフスキー方程式の導出について説明します。グロス-ピタエフスキー方程式は、すべての双極子が同じ方向を持ち、時間的に変化しない条件で現れることを示しました。電気双極子進化の方程式と磁化進化の方程式との比較について説明します。均一な外部電場の影響を受けるかどうかにかかわらず、双極子BECの集合励起の分散は、私たちの方法を使用して考慮されます。 BECにおける分極の進化が、新しいタイプの集団励起の形成につながることを示します。集団励起の分散の詳細な説明が表示されます。また、中性偏光粒子の単一エネルギービームによる偏光BECでの波動生成のプロセスについても検討します。双極子ビームによるボゴリューボフと偏光モードの生成の可能性を計算します














After obtaining the Bose-Einstein condensate (BEC) in experiments with vapors of alkaline metal atoms, theoreti-cal and experimental investigation of linear waves and non-linear structures in the BEC have been performed. In recent years the interest to the polarized BEC has been increasing.


It is connected with recent experimental progress in cool-ing of polarized atoms and molecules. At present day the BEC with magnetic polarization is realized on atoms 52Cr.


There are a lot of attempt of experimental obtaining of the electrically polarized BEC (see reviews [1]- [4]). For this aim, Bose molecules having the electric dipole moment have been cooled. Particular interest to the electrically po-larized BEC brought because of large dipole-dipole scatter-ing length, and thereby because of both the big magnitude and large distance of interaction in compare with analogous quantities for the magnetized BEC.


Many processes in quantum systems are determined by the dynamics and the dispersion of collective excitations (CE) [5]. The law dispersion of the CE in the degener-ate dilute Bose gas was obtained by Bogoliubov in 1947 [6, 7]. Many authors studied the change of the Bogoliubov spectrum which arises when the short-range interaction ac-counted more carefully [8]- [14], or geometry of the sys-tem is complex [15], [16], [17]. In papers [18]- [22] authors studied the influence of the electric dipole moment (EDM) dynamics on the dispersion of the CE in the BEC.


The contribution of polarization in the dispersion law of the Bogoliubov mode was obtained in Ref.s [18]- [22]. Insta-bility of the Bogoliubov spectrum in the 3D dipolar BEC (DBEC) with the repulsive short-range interaction (SRI) was shown in Ref.s [18]- [20]. U. R. Fisher [21] ob-tained that the Bogoliubov mode in the 2D DBEC is stable for a wide range of system parameters. There are also re-view papers [2]- [4], where various aspects of physics of the polarized BEC were considered. In this paper we are interested in possibility of the polarization wave existence in the DBEC, i.e. in existence of new type of the CE. Dy-namics of polarization is interesting not for the quantum gases only, but in the solid state physics and the physics of low-dimensional systems too. The polarization waves in the low dimensional and the multy-layer systems of con-ductors, dielectrics, and semiconductors are considered in the papers [23, 24]. Analogously, in the BEC of molecules having the EDM we expect the existence of a polarization wave along with the Bogoliubov mode




アルカリ金属原子の蒸気を用いた実験でボーズ・アインシュタイン凝縮BEC)を取得した後、BECの線形波と非線形構造の理論的および実験的調査が行われました。近年、二極化されたBECへの関心が高まっています。 これは、分極した原子や分子の冷却における最近の実験の進歩と関連しています。現在、磁気分極を伴うBECは原子52Crで実現されています。 電気的に分極されたBECの実験的取得の試みはたくさんあります(レビュー[1]-[4]を参照)。この目的のために、電気双極子モーメントを持つボーズ分子が冷却されています。磁化されたBECの類似の量と比較して、大きな双極子-双極子散乱-散乱長、およびそれによる大きな相互作用と大きな相互作用距離の両方のために、電気的に分極されたBECに特に関心があります。 量子システムの多くのプロセスは、集団励起(CE)のダイナミクスと分散によって決定されます[5]。縮退した希薄なボースガス中のCEの法則分散は、1947年にボゴリューボフによって得られました[67]。多くの著者は、短距離相互作用がより注意深く説明された場合[8]-[14]、またはシステムの形状が複雑な場合に発生するボゴリューボフスペクトルの変化を研究しました[15][16][17]。 。論文[18]-[22]で、著者は電気双極子モーメント(EDM)のダイナミクスBEC内のCEの分散に及ぼす影響を研究しました。 ボゴリューボフモードの分散則における偏光の寄与は、参考文献[18]-[22]で得られました。反発短距離相互作用(SRI)を伴う3D双極BECDBEC)のボゴリューボフスペクトルの不安定性は、参考文献[18]-[20]に示されています。 U. R.フィッシャー[21]は、2DDBECのボゴリューボフモードが広範囲のシステムパラメータに対して安定していることを確認しました。分極化BECの物理学のさまざまな側面が検討されたレビューペーパー[2]-[4]もあります。この論文では、DBEC偏波波が存在する可能性、つまり新しいタイプのCEが存在する可能性に関心があります。分極のダイナミクスは、量子ガスだけでなく、固体物理学や低次元システムの物理学でも興味深いものです。導体、誘電体、および半導体の低次元および多層システムの偏波は、論文で検討されています[2324]。同様に、EDMを持つ分子のBECでは、ボゴリューボフモードとともに偏波の存在が予想されます。






At interpretation of the DDI in the quantum gases (QG) used the notion of the scattering length (SL) and the first Born approximation (FBA), analogously to the SRI de-scribed by the fourth term in the right-hand side of equa-tion (1). Therefore, the problem reduces to the process of scattering. Different approximations based on scattering process was analyzed in Ref.[48]. Particularly, where were considered condition of the FBA using and presented generalization of the GP equation for the scattering of po-larized atoms beyond the FBA.


Considering the QHD we do not formulate the scatter-ing problem. We do not need to limit ourselves to a scat-tering process, because we are interested in interaction be-tween atoms including interaction between several atoms at the same time. This statement is especially important for the polarized atoms because of the long-range inter-action between dipoles. Each act of interaction between dipoles could be considered as the scattering process for system of particles with a low concentration. This approx-imation is possible as for the neutral polarized particles as for the charged particles. The kinetic theory for the last case was developed by L. D. Landau in 1936 [49]. Lan-dau constructed collision term for the Coulomb particles,using analogy with the Boltzmann equation. The Landau collision integral depends on a scattering cross section. In this connection he considered the problem of the scatter-ing of charged particles on small angles, that is suitable for rare systems. Strictly speaking, for particles with the long-range interaction the conception of the self-consistent field is more suitable. This conception was suggested by A. A. Vlasov in 1938, for system of the charged particles [50]. In fact, group of particles moves in the field of their neighbors, but state of motion of the neighbors depends on motion of this group of particles as well (This picture of interaction is described on Fig. 1). According to this idea Vlasov proposed a kinetic equation for the charged parti-cles called the Vlasov equation. Actually the Landau colli-sion integral and the Vlasov equation are the two opposite branches of a hypothetical general theory. In this paper we follow to the Vlasov approximation and derive the self-consistent field theory for the dipole-dipole interaction in the quantum gases. From this point of view, there is no need to consider the first Born approximation or scattering process. In Appendix B to this paper we present derivation of the GP equation for polarized particles from the QHD equations. We did it at the condition that dipoles are par-allel each other and to an external field, they directions do not oscillate or vibrate around an equilibrium direction.


量子ガス(QG)のDDIの解釈では、散乱長(SL)と最初のボルン近似(FBA)の概念を使用しました。これは、equaの右辺の第4項で記述されたSRIと同様です。 -tion1)。したがって、問題は散乱のプロセスに還元されます。散乱過程に基づくさまざまな近似が参考文献[48]で分析されました。特に、FBAを使用したFBAの条件を考慮し、FBAを超えた分極原子の散乱に関するGP方程式の一般化を示しました。 QHDを考慮して、散布問題を定式化しません。同時に複数の原子間の相互作用を含む原子間の相互作用に関心があるため、散乱プロセスに限定する必要はありません。このステートメントは、双極子間の長距離相互作用のため、偏極原子にとって特に重要です。双極子間の相互作用の各行為は、低濃度の粒子系の散乱過程と見なすことができます。この近似は、荷電粒子と同様に中性分極粒子でも可能です。最後のケースの運動論は、1936年にL. D.Landauによって開発されました[49]ランダウは、ボルツマン方程式との類似性を使用して、クーロン粒子の衝突項を作成しました。ランダウ衝突積分は、散乱断面積に依存します。これに関連して、彼は、まれなシステムに適した、小さな角度での荷電粒子の散乱の問題を検討しました。厳密に言えば、長距離相互作用を持つ粒子の場合、自己無撞着場の概念がより適しています。この概念は、1938年にA. A. Vlasovによって、荷電粒子のシステムについて提案されました[50]。実際、粒子のグループは隣接する粒子のフィールド内を移動しますが、隣接する粒子の運動状態は、この粒子のグループの運動にも依存します(この相互作用の図を図1に示します)。この考えに従って、ウラソフは、ウラソフ方程式と呼ばれる荷電粒子の運動方程式を提案しました。実際、ランダウ衝突積分とウラソフ方程式は、仮想の一般理論の2つの反対の分岐です。この論文では、Vlasov近似に従い、量子ガスにおける双極子-双極子相互作用の自己無撞着場理論を導き出します。この観点から、最初のボルン近似または散乱プロセスを考慮する必要はありません。この論文の付録Bでは、QHD方程式からの偏光粒子のGP方程式の導出を示します。双極子が互いに平行であり、外部場に対して、それらの方向が平衡方向の周りで振動または振動しないという条件でそれを行いました。


Other methods were also applied for investigation of the polarized BEC and other systems of particles having the EDM, along with the GP equation. A hydrodynamic for-mulation of the Hartree-Fock theory for particles with the significant EDM is considered in Ref. [51]. The Euler-type equation was derived in paper [51], from the evolu-tion of the density matrix. The EDM dynamics in dimer Mott insulators causes the rise of the low-frequency mode [52]. The spectrum of single-particle excitations and long-wave-length collective modes (zero sound) in the normal phase were obtained [53] in the Hartree-Fock approxi-mation, which treats direct and exchange interactions on an equal footing. Minimal coupling model for description of spatial polarization changing on the BEC properties is constructed in Ref. [54]. The density functional method was used for the polarized quantum gas studying in Ref.[55]. The Hubbard model for the polarized BEC is used too [56]. A two-body quantum problem for the polar-ized molecules is analyzed in [57]. The existence of states with spontaneous interlayer coherence has been predicted in [58] in systems of the polar molecules. Calculations,in [58], were based upon the secondary quantization ap-proach, where the Hamiltonian accounts for the molecular rotation and the dipole-dipole interactions. Superfluidity anisotropy of polarized fermion systems was shown in [59] and their thermodynamic and correlation properties were investigated [60]. The effect of the EDM on a system of cooled neutral atoms which are used for the quantum com-puting and quantum memory devices was analyzed in Ref.[61].


The characteristic property of the BEC in a system of excitons inducing in semiconductors [62] is a significant value of the exciton EDM. This leads to strong interaction of excitons with an external electric field and emergence of the collective DDI in exciton systems. The QHD method may be applied to such systems along with quantum kinet-ics based on the nonequilibrium Green functions [63] or the density matrix equations [64].


Notable success has been reached in the Bose condensa-tion of dense gases [65, 66]. Consequently, we need the detailed account of the short range interaction for inves-tigation of the EDM dynamics. In this work we account the SRI up to the third order on interaction radius (TOIR) [14]. This approximation leads to nonlocality of the SRI [14], [67]- [70].


Electrically polarized BEC can interact with the beam of charged and polarized particles by means of the charge-dipole and the dipole-dipole interaction. These interac-tions lead to transfer of energy from the beam to medium and, consequently, to generation of waves. In the plasma physics, the effects of generation of waves by electron [71] or magnetized neutron [72, 73] beam are well-known.


他の方法も、GP方程式とともに分極BECおよびEDMを有する粒子の他のシステムの調査に適用されました。流体力学的形式-重要なEDMを持つ粒子のハートリーフォック理論の定式化は、参考文献で検討されています。 [51]オイラー型方程式は、密度行列の進化から論文[51]で導き出されました。二量体モット絶縁体のEDMダイナミクスは、低周波モードの上昇を引き起こします[52]。単一粒子励起と長波長のスペクトル-順相での長さの集団モード(ゼロサウンド)は、ハートリーフォック近似で得られました[53]。これは、直接相互作用と交換相互作用を同等の立場で扱います。 BEC特性の空間分極変化を説明するための最小結合モデルは、参考文献で構築されています。 [54]。密度汎関数法は、参考文献[55]で研究されている偏極量子ガスに使用されました。分極BECハバードモデルも使用されます[56]。分極化分子の二体量子問題は[57]で分析されています。自発的な層間コヒーレンスを伴う状態の存在は、極性分子のシステムにおける[58]で予測されています。 [58]の計算は、ハミルトニアンが分子回転と双極子-双極子相互作用を説明する二次量子化アプローチに基づいていました。分極フェルミオン系の超流動異方性は[59]に示され、それらの熱力学的および相関特性が調査されました[60]。量子計算および量子メモリデバイスに使用される冷却された中性原子のシステムに対するEDMの影響は、参考文献[61]で分析されました。 半導体を誘導する励起子の系におけるBECの特徴的な特性[62]は、励起子EDMの重要な値です。これは、励起子と外部電場との強い相互作用と、励起子システムにおける集合DDIの出現につながります。 QHD法は、非平衡グリーン関数[63]または密度行列方程式[64]に基づく量子力学とともにこのようなシステムに適用できます。 高密度ガスのボーズ凝縮で顕著な成功が達成されました[6566]。したがって、EDMダイナミクスの調査のための短距離相互作用の詳細な説明が必要です。この作業では、相互作用半径(TOIR)の3次までのSRIを説明します[14]。この近似は、SRIの非局所性につながります[14][67]-[70]。 電気的に分極されたBECは、電荷-双極子および双極子-双極子相互作用によって、荷電粒子および分極粒子のビームと相互作用することができます。これらの相互作用は、ビームから媒体へのエネルギーの移動につながり、その結果、波の生成につながります。プラズマ物理学では、電子[71]または磁化された中性子[7273]ビームによる波の生成の影響がよく知られています。


When we use term beam we also mean stream of particles excited in the considered system, along with an external beam of particles passing through the system. In presented paper we consider similar effect in the polarized BEC.


At our treatment we derive and use the QHD equations for polarized particles. Set of the QHD equations consists of the continuity equation, the momentum balance equation (the Euler equation), the equation of polarization evolution and equation of polarization current evolution. We present first principles derivation of this equation. For this purpose we use the many-particle Schr ̈odinger equation. We ana-lytically calculate the dispersion properties of the DBEC.


We show that the dynamics of the EDM leads to existence of new branch in the dispersion law. Consequently, there are the waves of polarization in the DBEC, along with the Bogoliubov mode. We obtain contribution of the DDI to the dispersion of the Bogoliubov mode. Then, we consider the process of wave generation in the DBEC by means of a monoenergetic beam of neutral polarized particles. We suggest new method of generation of both the Bogoliubov mode and the polarization wave. This paper is an extension and result of processing of our previous paper [74], where a brief description of the same results and ideas were pre-sented. Some ideas were also described in Ref. [75].


This paper is organized as follows. We introduce the model Hamiltonian in Sec. II, and present the momentum balance equation. Further, in Sec. II, we derive equations of the polarization evolution and obtain the influence of the interactions on the evolution of polarization. In Sec.III we calculate the dispersion dependence of the CE in the DBEC. The polarization evolution is taken into account.


We obtain the contribution of polarization in dispersion of the Bogoliubov mode and show the existence of new wave solution. We consider high frequency excitation appearing at large equilibrium polarizations. We also present calcula-tions for the wave of polarization at constant concentration.


In Sec. IV we study the wave generation in the polarized BEC by means of the neutral polarized particle beam. In Sec. V we present the brief summary of our results. App.A. contains detail of derivation of equations of polarization evolution. In App. B. derivation of the GP equation for polarized particles is presented. In App. C. we consider distinction of evolution of spinning particle from the parti-cles having EDM.














We developed the self-consistent method for description of the DBEC dynamics. This method accounts effect of polarization on changes of the particle concentration and velocity field, which are determined in general by the con-tinuity equation and Euler equation. We derived the evolu-tion equations of the polarization and the polarization cur-rent. The derived equations contain information about the influence of the interactions on the polarization evolution.


We studied the effect of polarization on the BEC dynam-ics and influence of the SRI on the polarization evolution.


An expression of the SRI contribution in the equation of polarization current evolution via concentration, polariza-tion and the SRI potential Υ = Υ(Uij) was derived. With the assumption that the state of polarized Bose particles in the form of BEC can be described with some single-particle wave function. Changes in polarization due to SRI are shown to be determined at the first order of the interac-tion radius by the same interaction constant that occurs in Euler’s equation and Gross-Pitaevskii equation.


The derivation of the GP equation for polarized particles from the QHD equations was obtained. The conditions of validity of the GP equation was presented. Comparison of evolution equation of the electrically polarized BEC and the magnetized BEC was discussed and differences were described.


Physical meaning of the self-consistent approximation was described. Suitability of the self-consistent approx-imation for electrically polarized BEC was shown. Dis-tinctions of developed self-consistent approximation for dipole-dipole interaction from the scattering process are discussed.


Correct form of the dipole-dipole interaction Hamilto-nian is discussed. The arguments for choosing of correct form of Hamiltonian for electric and magnetic dipoles are presented.


The dispersion of the CE in the polarized BEC was an-alyzed. We shown that polarization evolution in the BEC causes a novel type of waves. The effect of polarization on the dispersion of the Bogoliubov mode and the dispersion of a new wave mode were studied.


We shown the possibility of wave generation in the po-larized BEC by means of the monoenergetic beam of neu-tral polarized particles.


DBECダイナミクスを記述するための自己無撞着法を開発しました。この方法は、粒子濃度と速度場の変化に対する分極の影響を説明します。これらは、一般に、連続方程式とオイラー方程式によって決定されます。分極と分極電流の進化方程式を導き出しました。導出された方程式には、分極の進展に対する相互作用の影響に関する情報が含まれています。 BECダイナミクスに対する分極の影響と分極の進化に対するSRIの影響を研究しました。 濃度、分極、およびSRIポテンシャルΥ=ΥUij)を介した分極電流発生の方程式におけるSRI寄与の式が導き出されました。 BECの形の偏光ボーズ粒子の状態は、いくつかの単一粒子波動関数で記述できると仮定します。 SRIによる分極の変化は、オイラー方程式とグロスピタエフスキー方程式で発生するのと同じ相互作用定数によって、相互作用半径の1次で決定されることが示されています。 QHD方程式からの偏光粒子のGP方程式の導出が得られました。 GP方程式の妥当性の条件が提示されました。電気的に分極されたBECと磁化されたBECの進化方程式の比較が議論され、違いが説明されました。 自己無撞着近似の物理的意味を説明した。電気的に分極されたBECに対する自己無撞着近似の適合性が示された。散乱プロセスからの双極子-双極子相互作用のために開発された自己無撞着近似の区別について説明します。 双極子-双極子相互作用の正しい形式ハミルト-ニアンについて説明します。電気双極子と磁気双極子のハミルトニアンの正しい形式を選択するための議論が提示されます。 分極されたBECにおけるCEの分散が分析された。 BEC偏波の進化が新しいタイプの波を引き起こすことを示しました。ボゴリューボフモードの分散と新しい波モードの分散に対する偏光の影響を研究した。 中性の単一エネルギービームによる偏光BECでの波動生成の可能性を示しました-中性偏光粒子。








Limit cycle oscillation in negative differential resistance devices






E. S. Hellman, K. L. Lear, and J. S. Harris Jr.




負の微分抵抗にバイアスしたときに複雑な多段階構造を示すGaAs / AlGaAs共鳴トンネルダイオードの実験的な電流-電圧曲線を示します。 これらの結果は、共振回路がロードされた負性微分抵抗デバイスで構成される非線形動的システムのリミットサイクル振動として説明できることを示します。 抵抗‐コンデンサ‐インダクタ負荷と無分散伝送線路負荷の2つの回路モデルについて論じた。 2番目のモデルのリミットサイクルは、分岐、周期倍分岐、悪魔の階段など、非線形システムに特徴的なさまざまな動作を示し、実験との質的な一致をもたらします。








Quantum limit cycles and the Rayleigh and van der Pol oscillators


Lior Ben Arosh, M. C. Cross, and Ron Lifshitz
















Self-oscillating systems are ubiquitous—from human-made clocks and transistors, through heart cells and neu-rons in the living body, to flashing fireflies and circadian


rhythms—and are now emerging as canonical models for driven dissipative nonequilibrium open quantum sys-tems, and as key elements in quantum technology. The dynamics of self oscillation are captured mathematically by the notion of a limit-cycle. Here we consider a family of models that interpolates between the Rayleigh [1] and the van der Pol (vdP) [2] oscillators, which are probably the most common textbook examples of limit-cycles in


classical nonlinear dynamics. These models consist of a simple harmonic oscillator, driven by a time-independent energy pump in the form of “negative damping.” When the pumping rate exceeds that of the normal damping rate, self-oscillations develop, which are then saturated by a nonlinear form of damping. The frequency of the oscillation is set by the physical parameters of the os-cillator, while the magnitude of the oscillation is set by


the ratio of the linear to the nonlinear damping rates.


This provides a convenient knob with which to transition the oscillator from large-amplitude classical behavior to small-amplitude quantum behavior, which is our focus




Existing models for quantum limit cycles [3] consist of a harmonic, or possibly anharmonic, quantum oscillator,with linear as well as nonlinear coupling to the environ-ment, which are expressed in terms of quantum Lind-blad operators. These models are currently being used to study quantum entrainment [4], synchronization [5–7]


and the phenomenon of “oscillation collapse” or “ampli-tude death” [8, 9] in systems of coupled self-sustained oscillators, as well as the nonequilibrium spectral prop-


erties [10], and the critical response to external drive [11], of single oscillators.


Our current focus is more basic. The classical Rayleigh and vdP oscillators are known for exhibiting a Hopf bi-furcation, from a state of no motion at all to a state of self-oscillations at a fixed amplitude. We seek to char-acterize this bifurcation as the system transitions from the classical to the quantum domain. Our goal is to find answers to such questions as: How exactly should one model the Rayleigh and vdP oscillators in quantum me-chanics? Can the quantum model analytically be solved, at least in its steady state? Is the quantum bifurcation different from the classical one? What experimentally observable indications are there to distinguish between quantum and classical behavior? What would be the first corrections to classical dynamics as one approaches the quantum domain?


Answers to these questions are relevant to a broad range of physical systems exhibiting quantum behavior,including lasers, or more generally photonic systems with nonlinear loss [12–14], as well as trapped ions [5, 15] and electronic or superconducting circuits [16]. Particularly interesting is the attempt to observe such quantum be-havior in nanotechnology-based human-made mechanical systems [17]. Indeed, modern nanomechanical resonators show exceptional behavior, as they routinely operate in the GHz range [18]. With nano-electromechanical systems (NEMS) [19] and nano-optomechanical systems (NOMS) [20] it is now possible to perform ultrasensi-tive measurements of physical quantities [21] such as sin-gle spins [22], minute charges [23], and tiny masses [24].


自励発振システムは、人工の時計やトランジスタから、生体内の心臓細胞やニューロン、点滅するホタルや概日リズムまで、至る所に存在します。 リズム—そして現在、駆動された散逸性非平衡開放量子システムの標準モデルとして、そして量子技術の重要な要素として浮上しています。自励発振のダイナミクスは、リミットサイクルの概念によって数学的に捉えられます。ここでは、レイリー[1]オシレーターとファンデルポール(vdP[2]オシレーターの間を補間するモデルのファミリーを検討します。これは、おそらく最も一般的なリミットサイクルの教科書の例です。 古典的な非線形ダイナミクス。これらのモデルは、「負の減衰」の形で時間に依存しないエネルギーポンプによって駆動される単純な調和振動子で構成されています。ポンピング速度が通常の減衰速度の速度を超えると、自励発振が発生し、非線形形式の減衰によって飽和します。発振周波数は発振器の物理パラメータによって設定されますが、発振の大きさは線形減衰率と非線形減衰率の比率によって設定されます。 これにより、オシレーターを大振幅の古典的な動作から小振幅の量子動作に移行するための便利なノブが提供されます。これがここでの焦点です。 量子リミットサイクルの既存のモデル[3]は、環境への線形および非線形結合を備えた調和または非調和の量子振動子で構成されており、量子リンドブラッド演算子で表されます。これらのモデルは現在、量子エントレインメント[4]、同期[5–7]の研究に使用されています。 結合された自立発振器のシステムにおける「振動崩壊」または「振幅死」[89]の現象、および非平衡スペクトル特性。 単一発振器の特性[10]、および外部ドライブへの重要な応答[11]。 私たちの現在の焦点はより基本的です。古典的なレイリー発振器とvdP発振器は、運動がまったくない状態から固定振幅の自励発振状態まで、Hopf分岐を示すことで知られています。システムが古典的領域から量子領域に移行するときに、この分岐を特徴づけることを目指します。私たちの目標は、次のような質問に対する答えを見つけることです。量子力学でレイリーおよびvdP発振器をどの程度正確にモデル化する必要がありますか?少なくとも定常状態では、量子モデルを解析的に解くことができますか?量子分岐は古典的な分岐とは異なりますか?量子的振る舞いと古典的振る舞いを区別するために、実験的に観察可能などのような兆候がありますか?量子領域に近づくにつれて、古典的なダイナミクスに対する最初の修正は何でしょうか? これらの質問への回答は、レーザー、より一般的には非線形損失を伴うフォトニックシステム[12–14]、トラップ型イオン[515]、電子回路または超伝導回路[515]など、量子挙動を示す幅広い物理システムに関連しています。 16]。特に興味深いのは、ナノテクノロジーベースの人工機械システムにおけるそのような量子挙動を観察する試みです[17]。実際、最新のナノメカニカル共振器は、GHz範囲で日常的に動作するため、並外れた動作を示します[18]。ナノ電気機械システム(NEMS[19]およびナノオプトメカニカルシステム(NOMS[20]により、シングルスピン[22]、微小電荷などの物理量[21]の超高感度測定を実行できるようになりました。 [23]、そして小さな塊[24]


Relatively weak drive is needed in order for nonlinearity to be evident in the dynamics of nanomechanical sys-tems [25, 26], which is experimentally observed [27] and also exploited for applications [28]. Most importantly, at GHz frequencies, one need only cool to temperatures on the order of tens to even hundreds of mK for the thermal energy to become comparable to the quantum energy-level spacing of the mechanical resonator. This allows now to cool mechanical resonators down to their quan-tum ground state [29], and to start investigating funda-mental physical questions on the borderline between the


quantum and the classical worlds [30], as it applies to human-made macroscopic nonlinear mechanical objects.


This, in turn, requires a well-based quantum theoretical framework.


We employ a phase-space approach to study the cor-respondence between classical and quantum limit-cycles.


Since classical notions like a particle trajectory do not have a straightforward quantum analog, it is reasonable to compare quantum expectation values with classical


statistical ensemble averages. We do so by solving the classical equations of motion for many different initial conditions (typically N= 104) taken from a Gaussian


distribution, and keeping track of the different trajec-tories, thus representing a statistical distribution over phase space. The width of the initial distribution in


phase space is taken to be the same as the quantum un-certainties ∆x and ∆p of an initial coherent-state wave function.


In addition to expectation values, we also compare the full classical distribution with the quan-tum Wigner function W(x,p). The quantum dynam-ics are those of an open quantum system, and therefore described by a density matrix and its master equation,


which dictates the steady state, and more generally, the dynamics of the quantum system.


We begin in section II with theoretical background for the classical dynamics of a family of models described by a generalized Rayleigh-van der Pol equation of mo-tion (5), which interpolates continuously between the pure Rayleigh oscillator and the pure vdP oscillator. We provide a perturbative steady-state solution for limit cy- cles that are nearly-circular in phase space, obtained for weak driving just above the Hopf bifurcation to the oscil-latory state. Moreover, we note that this solution is ex-act, and the limit cycles are always circular, for the model that lies exactly halfway between the pure Rayleigh and pure vdP oscillators, which we call the Rayleigh-van der Pol (RvdP) oscillator. In section III we introduce three quantum models, differing in the form of the nonlinear coupling of the oscillator to the environment. We discuss the basic features of these quantum models, and show that, for weak driving, their classical limits correspond to the RvdP oscillator (sec. III A), and to the pure vdP (sec. III B), and pure Rayleigh oscillators (sec. III C). In sec. III D we employ time correlation functions to eluci-date some of the differences between these models. In section IV we derive an exact analytical solution for the steady-state dynamics of the quantum RvdP oscillator,which is a generalization to arbitrary temperature of ex-


isting solutions for very-low, or zero, temperature, of-ten misattributed to the quantum vdP oscillator. In sec-tion V we consider in some detail the transition from clas-sical to quantum dynamics of the RvdP oscillator, identi- fying dynamical behavior that is unique to the quantum domain. We conclude with a few summarizing remarks in section VI.


ナノメカニカルシステムのダイナミクス非線形性が明らかになるためには、比較的弱いドライブが必要です。これは、実験的に観察され[27]、アプリケーションにも利用されています[28]。最も重要なことは、GHz周波数では、熱エネルギーが機械的共振器の量子エネルギーレベルの間隔に匹敵するようになるために、数十から数百mKのオーダーの温度まで冷却するだけでよいということです。これにより、機械的共振器を量子基底状態まで冷却し[29]、人間が作った巨視的世界に適用されるように、量子世界と古典世界の境界線に関する基本的な物理的問題の調査を開始できます[30]非線形機械的オブジェクト。 これには、十分に基づいた量子論フレームワークが必要です。 位相空間アプローチを使用して、古典的リミットサイクルと量子リミットサイクルの間の対応を研究します。 粒子軌道のような古典的な概念には単純な量子アナログがないため、量子期待値を古典的なものと比較することは合理的です。 統計集団の平均。これを行うには、ガウス分布から取得した多くの異なる初期条件(通常はN = 104)の古典的な運動方程式を解き、さまざまな軌跡を追跡します。これにより、位相空間全体の統計分布を表します。位相空間における初期分布の幅は、初期コヒーレント状態波動関数の量子不確実性∆xおよび∆pと同じであると見なされます。 期待値に加えて、完全な古典的分布を量子ウィグナー関数Wx、​​p)と比較します。量子力学は開放量子系のものであり、したがって密度行列とそのマスター方程式によって記述されます。 これは定常状態、より一般的には量子システムのダイナミクスを決定します。 セクションIIでは、純粋なレイリー振動子と純粋なvdP振動子の間を連続的に補間する一般化されたレイリー-ファンデルポール運動方程式5)によって記述されるモデルファミリーの古典的なダイナミクスの理論的背景から始めます。位相空間でほぼ円形である限界サイクルに対して摂動定常解を提供します。これは、ホップ分岐のすぐ上で振動状態への弱い駆動に対して得られます。さらに、純粋なレイリー発振器と純粋なvdP発振器のちょうど中間にあるモデル(レイリーファンデルポール(RvdP)発振器と呼ばれる)の場合、このソリューションは正確であり、リミットサイクルは常に循環的であることに注意してください。セクションIIIでは、発振器の環境への非線形結合の形式が異なる3つの量子モデルを紹介します。これらの量子モデルの基本的な機能について説明し、弱い駆動の場合、それらの古典極限がRvdP発振器(秒III A)、純粋なvdP(秒III B)、および純粋なレイリー発振器(秒III B)に対応することを示します。セクションIIIC)。セクションIIIDでは、時間相関関数を使用して、これらのモデル間のいくつかの違いを解明します。セクションIVでは、量子RvdP振動子の定常状態のダイナミクスの正確な解析解を導き出します。これは、既存の任意の温度への一般化です。 vdPオシレーター。セクションVでは、RvdP発振器の古典から量子ダイナミクスへの移行を詳細に検討し、量子領域に固有の動的挙動を特定します。最後に、セクションVIのいくつかの要約コメントで締めくくります。












We have studied a collection of master equations that yield quantum limit cycles in their steady-state dynam-ics. They all describe a simple harmonic oscillator, inter-acting with the environment through a combination of Lindblad operators, responsible for linear and nonlinear damping and energy injection, or pumping, in the form of single-phonon or double-phonon emission and absorp-tion processes. We have established the correct corre-spondence between these quantum master equations and their classical counterparts, noting that the commonly used quantum model—which is symmetric under phase-space rotations and therefore always yields circular limit-cycles—is often mistaken to be the “van der Pol (vdP) os-cillator”, even though it actually corresponds to the clas-sical “Rayleigh-van der Pol (RvdP) oscillator”. We have also noted that, in all cases, the correspondence holds only for oscillations just above the bifurcation, namely,only to first order in the bifurcation parameter






We have analyzed a generalized version of the quan-tum RvdP limit cycle, applicable to a broad range of physical systems, such as nanomechanical oscillators, op-tical oscillators or lasers, electronic or superconducting oscillating circuits, and cold ions. We have obtained an exact analytical solution to the master equation in its steady state for arbitrary temperature, and considered its small-amplitude quantum limit—obtained by increas-ing the nonlinear damping rate—in some detail. A num-ber of features emerge in this quantum regime, some of which were previously overlooked. Most important is the fact that, at


T= 0, the |1state of the quantum oscilla-tor is protected from nonlinear damping. One therefore still obtains limit-cycle oscillations, even with an infinite nonlinear damping rate, yet these quantum limit cycles are strongly affected by both the linear damping and the pumping rates, and are not universal as previously be-lieved. We show that whereas in the classical regime it is only the difference between the linear pumping and the linear damping rates that affects the zero-temperature dynamics, in the quantum regime the ratio of the two rates plays a significant role as well, as they each con-tribute an independent source of spontaneous quantum processes. We have also described the effect of tempera-ture in smearing out these nonclassical bifurcations.


We have performed a numerical comparison between classical and quantum dynamics of the different mod-els, showing perfect correspondence—where expected—between the quantum Wigner functions and the corre-sponding classical phase-space distributions. The agree-ment holds not only for the steady-state limit cycle dy-namics, but for the transients as well, whereby an initial oscillating coherent state first quickly relaxes, or drifts,to the expected amplitude, and only then slowly diffuses around the limit cycle losing its initial phase. Deviations between the two occur in the quantum regime, as just


mentioned above, where rather than decaying to zero as nonlinear damping increases, the quantum limit-cycle is protected, with its amplitude saturating at around zero-point motion, at a value that depends on the ratio of the linear pumping and damping rates. Deviations also occur far above the bifurcation, where the quantum and clas-sical models no longer agree with each other. It should be emphasized that the Wigner functions that describe all the limit cycles are “essentially classical”, developing no negative regions for any choice of parameters. This is a well-known property of the simple harmonic oscil-lator, which persists in these open systems, as long as the oscillator is linear [45] and is uncoupled to additional oscillators or other degrees of freedom.


Our results should provide a firmer theoretical basis for ongoing studies of physical phenomena such as quan-tum entrainment and synchronization, and more gener-ally, nonequilibrium nonlinear quantum dynamics involv-ing self-sustained oscillators. We hope that our analytical results could be tested experimentally in the near future,where they should provide better tools with which to an-alyze the measured data.




定常状態のダイナミクスで量子リミットサイクルを生成するマスター方程式のコレクションを研究しました。それらはすべて、線形および非線形の減衰とエネルギー注入、または単一フォノンまたは二重フォノンの放出と吸収の形でのポンピングを担当するリンドブラッド演算子の組み合わせを通じて環境と相互作用する単純な調和振動子を説明しています。プロセス。これらの量子マスター方程式とそれらの古典的な対応物との間の正しい対応を確立しました。位相空間回転の下で対称であり、したがって常に円形のリミットサイクルを生成する一般的に使用される量子モデルは、しばしば「 van der PolvdPos-cillator」ですが、実際には古典的な「Rayleigh-van der PolRvdPオシレーター」に対応しています。また、すべての場合において、対応は分岐のすぐ上の振動に対してのみ、つまり分岐パラメータの1次に対してのみ成立することにも注意しました。 。 ナノメカニカル発振器、光発振器またはレーザー、電子または超伝導振動回路、冷イオンなど、幅広い物理システムに適用できる、量子RvdPリミットサイクルの一般化バージョンを分析しました。任意の温度での定常状態でのマスター方程式の正確な解析解を取得し、非線形減衰率を上げることで得られる小振幅の量子限界を詳細に検討しました。この量子体制には多くの特徴があり、そのいくつかは以前は見過ごされていました。最も重要なのは、T = 0で、量子発振器の| 1〉状態が非線形減衰から保護されているという事実です。したがって、無限の非線形減衰率でもリミットサイクル振動が得られますが、これらの量子限界サイクルは線形減衰とポンピング速度の両方の影響を強く受け、以前に信じられていたように普遍的ではありません。古典的なレジームでは、ゼロ温度ダイナミクスに影響を与えるのは線形ポンピングと線形減衰レートの違いだけですが、量子レジームでは、2つのレートの比率も重要な役割を果たします。自発的な量子プロセスの独立したソースに貢献します。また、これらの非古典的な分岐を塗りつぶす際の温度の影響についても説明しました。 さまざまなモデルの古典的ダイナミクスと量子ダイナミクスの数値比較を実行し、予想される場合は、量子ウィグナー関数と対応する古典的位相空間分布の間の完全な対応を示しました。合意は、定常状態のリミットサイクルダイナミクスだけでなく、過渡状態にも当てはまります。これにより、初期の振動コヒーレント状態は、最初に期待される振幅まで急速に緩和またはドリフトし、その後、ゆっくりと拡散します。リミットサイクルは初期段階を失います。 2つの間の偏差は、ちょうどのように、量子体制で発生します 上記のように、非線形減衰が増加するにつれてゼロに減衰するのではなく、量子リミットサイクルが保護され、その振幅は、線形ポンピング速度と減衰速度の比率に依存する値で、ほぼゼロ点の運動で飽和します。偏差はまた、量子モデルと古典モデルが互いに一致しなくなった分岐点のはるか上で発生します。すべてのリミットサイクルを記述するウィグナー関数は「本質的に古典的」であり、パラメーターの選択に対して負の領域を発生させないことを強調しておく必要があります。これは単純な調和発振器のよく知られた特性であり、発振器が線形であり[45]、追加の発振器または他の自由度に結合されていない限り、これらのオープンシステムで存続します。 私たちの結果は、量子エントレインメントや同期などの物理現象の進行中の研究、およびより一般的には、非平衡非線形量子力学が関与する、自立した振動子のより強固な理論的基礎を提供するはずです。近い将来、分析結果を実験的にテストして、測定データを分析するためのより優れたツールを提供できることを願っています。




 A classical limit-cycle system that mimics the quantum-mechanical harmonic oscillator







適切に選択された非線形散逸摂動の影響を受ける古典的な調和振動子は、量子化されたシステムを模倣するリミットサイクルの無限のシーケンスを示す可能性があります。適切に選択された摂動の場合、大振幅のリミットサイクルは円に近づきます。リミットサイクルの振幅が大きいほど、エネルギー節約からの散逸偏差は小さくなります。摂動が弱いほど、漸近的振る舞いはすでに低位のリミットサイクルに現れます。 Rayleighおよびvander Pol発振器の単純な変更により、リミットサイクルの無限のシーケンスが生成されるため、高振幅のリミットサイクルのエネルギースペクトルは、ボックス内の量子力学的粒子のエネルギースペクトルになりがちです。別の慎重に選択された散逸摂動の場合、より高い振幅のリミットサイクルのエネルギースペクトルは、量子力学調和振動子のエネルギースペクトルになりがちです。すべての場合において、最初に散逸強度のリミットサイクル解を見つけます。次に、「各リミットサイクルのエネルギー」は平均値を中心に振動します。極限では、これらの振動は消滅し、無限シーケンスのリミットサイクルは、そのエネルギーの定数値に到達します。これは、このような古典的なシステムがハミルトニアン量子力学システムを模倣するために必要な特性です。