非線形電磁気学〜ボルン・インフェルト電気力学

Point Charge in the Born-Infeld Electrodynamics

Dariusz Chruscinski

1. Introduction

ボルン・インフェルト電気力学[1]は、マクスウェル理論の代替として30年代に提案されました（有用なレビューについては[2]も参照してください）。非線形性のため、対応するフィールド方程式を解くことは非常に困難です（荷電物質がない場合でも）。いくつかの非常に具体的な解決策がPryce [3]によって発見されましたが、古典電子に関するディラックの論文[4]と、40年代の量子電気力学の誕生の後、Born-Infeld理論は長い間完全に忘れられていました。最近、弦理論の研究により、この理論に新たな関心が集まっています。この理論のいくつかの非常に自然なオブジェクト、いわゆるDブレーンは、一種の非線形ボルンインフェルト作用によって記述されることがわかります（[5]などを参照）。さらに、フィールド理論と弦理論の双対性への注目が高まっているため[6]、ボルン・インフェルト電気力学の双対性不変性が詳細に研究されました[7]（実際、この不変性はSchr̈odingerによってすでに観察されています[8]）。ただし、この手紙では、ストリングではなく、ボルン・インフェルト非線形フィールドに結合された古典的な点電荷を分析します。なぜ非線形電気力学？点状の物体に適用した場合のマクスウェル電気力学が一貫していないことはよく知られています（レビューについては[9]を参照）。この不一致は、点電荷の無限の自己エネルギーに起因します。 Born-Infeld理論では、この自己エネルギーはすでにナイトです（実際、ナイトの自己エネルギーを持つ荷電粒子を表す古典的な解を見つけることがBornの動機でした）。

したがって、この量の有限値を与える理論では、一貫した方法で粒子の自己相互作用を説明することが可能であると期待するかもしれません。さらに、荷電粒子の近くで理論が効果的に非線形であるという仮定は、物理的観点から非常に自然であり、これはすでに量子電気力学から学んだ（BornはBornを特定することによって量子場理論と接触しようとした-有効なオイラー-ハイゼンベルクラグランジアンとしてのインフェルドラグランジアン[10]。有効なラグランジアンは、6光子相互作用項までのみボルンおよびインフェルドのものと一致する可能性があることが示されています[11]。ここでは、電磁気学の他の非線形理論の中でも、ボルン・インフェルト理論が非常に優れた物理的特性を持っているため、非線形理論の非常に特殊なモデルを検討します[12]。たとえば、それは唯一の因果スピン1理論[13]です（マクスウェルのものは別として）。最近、Born-Infeld電気力学が荷電粒子の多重極モーメントの生成モデルとしてうまく適用されました[14]。本書簡の目的は、ボルン・インフェルト電磁場と相互作用する点電荷のダイナミクスを説明することです。フィールド方程式の非線形性のために、例えば、対応する荷電粒子の個別の運動方程式を導出することは不可能です。マクスウェルの場合の有名なローレンツ-ディラック方程式に。したがって、運動方程式なしで粒子の軌道を決定できますか？この手紙では、それが実際に可能であることを示しています。この目的のために、[15]のマクスウェル事件で開発された新しいアプローチを提案します。荷電粒子と非線形電磁気学の間の相互作用を分析すると、合成された（粒子+フィールド）システムの合計4元運動量の保存は、粒子の軌道に沿って満たされなければならないボルンインフェルトフィールドの特定の境界条件と同等であることがわかります。。これを「動的条件」（式（23））と呼びます。これは、大まかに言えば、粒子の運動方程式を置き換えるためです。この条件によって補足される場の方程式は、完全に決定論的な理論を定義します。つまり、粒子とフィールドの初期データが、粒子とフィールドの進化を一意に決定します。システム。同じ問題は、Feenberg [16]とPryce [17]によって理論が誕生した直後に対処されました。彼らも同様のアプローチを使用しました。つまり、総エネルギー運動量テンソルの保存則を検討しました。したがって、私たちの結果は、60年前に得られた結果と対峙する必要があります。セクション6では、Feenberg、Pryce、および私たちの3つの条件の間の正確な関係を示します。（23）で与えられた条件は正しいが、FeenbergとPryceの条件は一貫していないことがわかります（Feenbergはフィールドダイナミクスと一致しておらず、Pryceは明確に定義された量を使用していないため、粒子のダイナミクスを決定するのに十分ではありません）。最後に、点状物体の一貫した電気力学を構築する上での「動的条件」（23）の物理的重要性と関連性について説明します。

6. Comparison with previous results

ここで、（23）を[16]および[17]の結果と比較します。両方の著者は、純粋な電磁粒子のモデルを使用しました（ユニタリーフィールド理論へのアインシュタインのアプローチの「精神」で）。ただし、（22）にm = 0を入れると、結果を私たちの結果と比較できます。フィーエンバーグは、フィールド方程式によってエネルギーと運動量が自動的に保存されると主張し、「その説得力のある単純さによって、他のすべての可能な条件から選択されているように見える新しい動的条件」を提案しました。推測は真実ではありません。 r.h.sの最初の積分が判明しました。 [16]の（28）のは消えませんが（Feenbergが主張しているように）、r.h.sと正確に等しくなります。私たちの（20）。この積分を評価する際の重要な観察は、（9）によって与えられるDフィールドの非対称的な振る舞いです。（9）クーロンフィールド（つまりA = 1）の代わりに使用すると、この積分は消えます。 Pryceの結論は私たちの結論と同じです。つまり、エネルギーと運動量の保存則は、荷電粒子のダイナミクスに固有の条件を課します。彼のアプローチでは、Feenberg（28）および私たち（20）と同じ境界積分を評価する必要があります（実際にはこの積分は、電荷に作用する力を定義します）。 [17]では、r.h.sの最初の項で与えられています。（5.2）の。ここで、力を計算するために、彼は点粒子を拡張粒子に置き換え、非常に示唆に富むものを得ました（5.12）。明らかに、（5.12）は拡張された電荷分布の力を定義します。プライスは、（5.2）の彼の積分は（5.12）の点粒子極限によって与えられると主張した。ただし、（5.12）はこの制限で十分に定義されていないため、真ではありません。EとBはx = 0で規則的ではありません。したがって、彼の動的条件も十分に定義されていません。拡張粒子のモデルを使用せずに、（20）の面積分を評価しました。私たちのアプローチにとって重要なのは、電荷の近くのフィールドの徹底的な漸近分析です。この分析により、粒子の軌道外の場の方程式のみを使用して（20）を計算できます。私たちの意見では、この「境界哲学」がこの問題を解決する唯一の一貫した方法です

7. Concluding remarks

ここで、（23）の物理的な重要性について簡単に説明します。（23）に基づく\ particle + eld "システムのダイナミクスは、無限次元のハミルトン系で記述できることがわかります。上記の理論のラグランジアンとハミルトンの両方の定式化を次の論文で示します。この手紙では1つの粒子の場合のみを考慮します。しかし、私たちの結果は、非線形電磁気と相互作用する多くの粒子に一般化される可能性があります。この時点で、最も興味深い質問が発生します。（23）に基づく理論は一貫していますか？定理3は理論の一貫性を保証するものではないことを強調します。類似の定理はマクスウェルの場合[15]で証明されるかもしれませんが、それにもかかわらず、点電荷のマクスウェル電気力学は一貫していません。この質問に答えるには、一貫性の正確な概念が必要です。理論の標準的な構造に基づいた一貫性の非常に自然な定義があります。次の論文では、この定義によれば、点電荷のボルン・インフェルト電気力学が一貫していることを示します。ボルン・インフェルト電気力学の双対性不変性[7]により、磁気単極子の力学を同じように記述することが可能であることがわかります。この問題は他の場所で検討されます。いくつかの未解決の質問があります。 [12]（[19]も参照）では、ボルン・インフェルト電気力学が非アーベルゲージ理論に一般化されました。この場合も（23）に基づくアプローチを適用することは興味深いでしょう。もちろん、この理論の量子バージョンについて質問する必要があります。この問題は非常に困難です。ボルン・インフェルト電気力学の量子的側面についてはほとんど知られていません。私たちの知る限り、60年代には2次元モデルのみが研究され[20]、最近では[21]に研究されました。